Методы решения тригонометрических уравнений

1. Методы решения тригонометрических уравнений урок – семинар

2. Цели урока: Рассмотреть некоторые методы решения тригонометрических уравнений. Научиться находить и использовать наиболее рациональные способы решения для данного уравнения.

3. Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

4. Главная работа Евклида – "Начала" (лат. Elementa) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

5. «Методразложение на множители» Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое от слов «треугольник» и «мера». Т.е. тригонометрия – наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие «синуса». Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в.н.э.), хотя и не приобрели специального названия.

6. В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV-V вв. появился уже специальный термин I в. «ард-ходжива» (ардх – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название «джива». Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» (или «синус дополнительной дуги»: вспомните cos α = sin (90° - α)).

7. №1 sin²x – sin x = 0 sin x (sin x – 1) = 0 sin x = 0 или sin x – 1 = 0 x =πn, n є Z sin x = 1 x =π/2+2πk, k є Z Ответ:π/2+2πk, где n, kє Z

8. №2 √2 cos x + (|sin x – 1| /(sin x – 1)) ×sin 2x = 0 sin x – 1 ≠ 0 sin x – 1 < 0 sin x < 1 √2 cos x + ((1 – sin x) / (sin x – 1))× sin 2x = 0 √2 cos x – 1 × 2sin x × cos x = 0 cos x (√2 – 2sin x) = 0 cos x = 0 или√2 – 2sin x = 0 x =π/2+πk,kє Z sin x = √2/2 x = (-1)ⁿ × π/4 + πn, nє Z Ответ:π/2+ πk; (-1)ⁿ × π/4 + πn, где n, kє Z

9. Выполнила Барышникова Елена 10 класс

10. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций. Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными, нежели задачи на решение плоских треугольников. В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками.

11. Гиппарх, Клавдий Птолемей Астрономы, 2 век до н. э. и 2 век н. э. Способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника.

12. Николай Коперник Астроном, 1473-1543 Астроном, 1473-1543 Творец гелиоцентрической системы мира.

13. sin f(x) = sin φ(x) f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = π- φ+2πn n, k є Z

14. cos f(x) = cos φ(x) f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = -φ(x) + 2πn n, k є Z

15. tg f(x) = tg φ(x) f(x) = φ(x) + πn φ(x) ≠ π + πl 2 n, l є Z

16. Пример №1. • sin 2x = sin 5x Ответ : 2π k; (1 - 2π) π , 3 7 где n u k Є Z 5x = 2x + 2πk 5x = π- 2x + 2πn k є Z n є Z 3x = 2πk 7x = (1 + 2π)π k є Z n є Z x = 2πk 3 π x = (1 + 2π) 7 k є Z n є Z

17. Пример №2. • sin 5x = -sin x • sin 5x = sin (-x) Ответ :πk ; ( 1+2n) π 3 4 Где n и k Є Z 5x – (-x) = 2πk 5x =π- (-x)+2πn k є Z n є Z x = π k 3 π x = ( 1+2n) 4 k є Z n є Z

18. Пример №3. • cos 3x = cos 5x Ответ : πk, π n, 4 где n u k Є Z 3x=5x+2πk 3x=-5x+2πn k є Z n є Z 2x=2πk 8x=2πn k є Z n є Z x=πk x=π n 4 k є Z n є Z

19. Пример №4. tg 3x ·tg (5x+π)=1 tg 3x 3 tg 3x≠0 tg (5x+π)= 1 3 tg 3x tg (5x+π)= ctg 3x 3 tg (5x+ π)=tg (π-3x) 3 2 Ответ: π(1+6n), 48 n є Z Выполнила Шумакова Екатерина 10 класс. • 5x+π=π-3x+πn • 2 • π-3x≠π+πl • 2 2 k є Z n є Z 8x=π+πn 6 -3x≠πl k є Z n є Z • x=π+πn • 8 • x≠πl • 3 k є Z n є Z

20. Метод cведения к алгебраическому уравнению.

21. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер (1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. • Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Несмотря на потерю зрения в 1776 году, Эйлер продолжал работать. Его математический гений и великолепная память позволили ему продолжать работу. • Формулы он писал мелом на доске, а своим друзьям диктовал новые работы. Характерно, что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости, о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов. Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками. Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге, ныне его прах перенесён в Некрополь. • После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее и проще.

22. №1. • 2 sin² х- 7cos x - 5 = 0 • 2(1 - cos² x) - 7cos x - 5 = 0 • 2 - 2 cos² x - 7cos x - 5 = 0 • - 2 cos² x – 7cos x - 3=0 • Пусть cos x = y и | у | ≤ 1 • 2у² + 7у + 3 = 0 • уı = - 3 у = - нет решений cos x = - • x = ± π + 2πn, n є • Ответ: ± π + 2πn, n € £

23. №2. • cos2x + 3 sin x = 2 • 1- sin² x + 3 sin x = 2 • -sin² x + 3 sin x - 1 = 0 • Пусть sin x = y, | у | ≤ 1 • y² - 3y + 1 = 0 • a + b + c = 0 => y = 1 или y = • sin x = 1 sin x = • x = π + 2πk, k є Z x = (˗1) ·π + πn, n є Z • Ответ: π + 2πk , x = (-1) ·π + πn, где n, k є Z. • Выполнила Мамедова Айнура 10 класс.

24. Метод исполнения свойства ограниченности функции (метод оценки).

25. «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.» Лейбниц.

26. Сам термин “функции” впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673), а затем и в печати (1692). слово function переводиться как “свершение”, “исполнение”. Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости. • Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г. Лейпциге. Его отец- юрист и профессор философии умер, когда Готфриду было всего шесть лет. Среда, в которой рос Лейбниц, оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека. Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией. В 1666 г. Он получил звание доктора наук. Полезно отметить, что труды Лейбница, написанные в восемнадцатилетнем возрасте, были достаточны для того, чтобы присвоить Лейбницу докторское звание, но ему в этом было отказано по молодости лет. Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой, т.к. не интересовался педагогической деятельностью. • В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика. Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений. Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение. Судьба играла с этим великим человеком злую шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов, в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления. Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых. А правда состояла в том, что первые результаты получил действительно Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собственным путем, но результаты Лейбница стали известны раньше, т.к. были раньше публикованы. • Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики, тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механике. • Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница. Умер он 14 ноября 1716 г. За его гробом шел только один его верный друг. • Если функции f(x) b g(x) таковы, что для всех х выполняется неравенства • F(x) ≤α и g(x)≤β и дано уравнение • F(x) + g(x)=α+β, то оно равносильно системе • f(x)=α • g(x)=β

27. Sin x = 1 <=> x = π + 2 π k , k Є Z Cos 6x = -1 3 2 3 • №1 • sin x - cos 6x = 2 • 3 • |Sin x| ≤ 1 |cos 6x| ≤ 1 Cos 6x = -1 6x = π + 2 π k , n Є Z fgfg3 <=> x= 3π +6 π k, k ЄZ x= π + πn , n Є Z x= π + πn , n Є Z 2 x= π + πn , n Є Z 6 3 Ответ: 3π+6 π ι , ι= Z 2

28. №2 • x² - 4x = ( 2 – cos πx) (2 + cos πx) – 8 • 4 4 • x² - 4x +8 = 2² - cos² πx • 4 • E(x² - 4x + 8) = [4; ∞) • Xв = - в= 4 =2 • 2a 2 • Yв = 4- 8 + 8 = 4 • E (4 - cos² πx) = [3; 4] • 4 • 0 ≤ cos² πx ≤ 1 • 4 • -1≤ -cos² πx≤ 0 • 4 • E (x² -4x +8) = E (4- cos²πx) = 4 ,при х=2 • 4 • Ответ: 2 • Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

29. Уравнение вида a sinx + b cosx = c a, b, c – любые числа

30. Франсуа Виет • Несмотря на то, что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом, он отличался любовью и точным наукам и способностями к математике. Будучи совсем молодым офицером, он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру, которым пользовался испанский король Филипп II при переписке. Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документы.

31. Заинтересовавшись астрономией, Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй. Виет дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений, почему и получил почетное имя современной алгебры. Виет первый ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что иногда делали его предшественники), но и для коэффициентов уравнений.

32. Поэтому, благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами.

33. a sinx + b cosx = c Условия на коэффициенты Решения а² + b² – c² > 0 x = 2·arctg·a ± √a²+b²-c² + 2πn b + c b+c≠0 а² + b² – c² = 0x = 2·arctg· a + 2πn, n є Z b + c а² + b² – c² < 0 x = ø b + c = 0 x = π(1 + 2n), n є Z x =-2 x arctg b + 2πk, k є Z a a=b=c=0, то x – любое число a=b=0, c≠0 уравнение теряет смысл ·

34. 1. 3·sinx + 4·cosx = 3

35. Решение: а² + b² – c² > 0 9 + 16 – 9 > 0 x = 2·arctg 3 ± √9 + 16 – 9 + 2πn, n є Z 7 x = 2·arctg 3 ±4 + 2πn, nєZ 7 x = 2· arctg 1 + 2πn x = 2· arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n), n єZ x = -2· arctg 1 + 2πk, k є Z 7

36. 2. 3 sinx – 4 cosx = 5

37. Решение: а² + b² – c² = 0 9 + 16 – 25 = 0 x = 2· arctg 3 + 2πn, n є Z 1 x = 2· arctg 3 + 2πn, n є Z

38. 3. 5 sinx – 4 cosx = 4

39. Решение: c + b = 0 4 – 4 = 0 x = (1 + 2n)π x = -2arctg (-0,8) + 2πk x = (1 + 2n)π x = 2 arctg 0,8 + 2πk Выполнила Давыдова Елена 10 класс.

41. Рене Декарт

42. Рене Декарт больше известен как великий филосов, чем математик. Но именно он был пионером современной математики, и его заслуги в этой области столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков современности. О жизни Декарта, известно так же под латинизированным именем Картезия, мы знаем немного. • Родился Декарт во Франции. После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать правоведение. В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников, учавствовавших в тринадцатилетней войне.

43. Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629г. поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. • Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел, обозначение степени X•X=X и знак бесконечности. • Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости. В Европе используется название, предложенное автором Картезианская система координат. У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат.

44. 11 февраля 1650г. Декарт скончался. Последние слова, произнесённые им, были «Пора в путь, душа моя». • В 1666г. передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину.

45. №1 • 1+cosX+sinX=0 • 1+cosX=-sinX • Y=1+cosX • Y=-sinX

46. На содержание

47. На содержание

48. На содержание

49. Sin x = 2x

50. X=0 На содержание