方程式 ( 未知數 ) 國立臺南大學數學教育系 謝 堅

1. 方程式(未知數) • 國立臺南大學數學教育系 • 謝　　堅

2. 7x＋3＝5x＋9f(x)＝5x＋9 • 2x＝6f(1)＝5＋9＝14 • x＝3f(6)＝30＋9＝39 • 這兩組數學式子的意義是否相同? • 數學式子中「x」的意義是否相同?

3. 何謂未知數? • 何謂變數? • 未知數和變數有何異同? • 何謂方程式? • 何謂函數? • 方程式和函數有何異同?

4. 小明帶100元出門，買了5枝一樣的原子筆後，還剩下40元，請問一枝原子筆賣多少錢?小明帶100元出門，買了5枝一樣的原子筆後，還剩下40元，請問一枝原子筆賣多少錢? • 「算式填充題：5x＋40＝100」 比較接近變數或未知數概念?

5. 一枝原子筆賣5元，一塊橡皮擦賣8元。買x枝原子筆，y塊橡皮擦，一共要付多少錢?一枝原子筆賣5元，一塊橡皮擦賣8元。買x枝原子筆，y塊橡皮擦，一共要付多少錢? • 要付「5x＋8y」元， • 「5x＋8y」是變數或未知數概念?

6. ( ) ＋7826＝13504 • ｘ＋7826＝13504 • 甲＋7826＝13504 • 這三個問題的難度相同嗎? • 為什麼國小學童認為最上面的那個問題比較簡單?

7. ( ) ＋7826＝13504 • ｘ＋7826＝13504 • 甲＋7826＝13504 • ( )像一個位置，不像一個數字。 • 甲或x比較像一個數字。 • ( )中代入一個數字後，會讓等號兩邊的數值相等。

8. ( ) ＋7826＝13504 • ｘ＋7826＝13504 • 甲＋7826＝13504 • 甲或x比較像一個數字： • 它們是一個不知道的未知數? • 或是一個確定的已知數?

9. 「不知道」＋「不知道」＝? • 「∞」＋「∞」＝? • 「全部」＋「全部」＝? • 「x」＋「x」＝? • 為什麼「x＋x＝2x」?

10. 「2個青蘋果，6個紅蘋果」 • 青蘋果是全部的幾分之幾? • 2個紅蘋果是全部的幾分之幾?

11. 未知數並非真正的未知，只是在尚未算出答案之前暫時的未知，算出答案之後就是一個確定的已知數。未知數並非真正的未知，只是在尚未算出答案之前暫時的未知，算出答案之後就是一個確定的已知數。 • 「暫時未知的已知數」或「定量未知數」一詞更適合未知數。

12. 未知數定理： • ｘ雖然是一個未知數，一個目前不知道等於多少的數，但是，只要它是一個數，它就能與其它的數一起做運算，而且順從運算所有的性質。

13. 在數學上，有那些運算性質 （加減乘除及其混合運算） 在全數系或有理數系一定成立？ • 有那些運算性質在整數系或 實數系（或複數系）一定成立？ • 為什麼在代數學中，也要討論這些性質？

14. 自然數：｛1，2，3，......｝。 • 自然數是點數的結果，描述一個給定的集合有多少個元素。 • 全數：自然數∪｛０｝。 • 全數是國小階段教學的重點， 全數的０表示沒有的意思。

15. 整數：｛...,－1,0,1,2,...｝ • 整數中的「2」是「＋2」的簡記法，表示比基準量0多2。 • 0 不一定表示沒有，0 只是設定的基準量，例如溫度是攝氏0度，0度並不表示沒有溫度，0度是水結冰時的溫度。 • 自然數可以視為整數的特例。

16. 全數、整數、有理數、實數都滿足那些運算性質？全數、整數、有理數、實數都滿足那些運算性質？ • 三一律： ａ，ｂ兩數恰滿足下列一種關係 • ａ＞ｂ • ａ＝ｂ • ａ＜ｂ。

17. 等價關係： • ａ，ｂ，ｃ三個數滿足 • 反身性：ａ＝ａ。 • 對稱性：ａ＝ｂ，則ｂ＝ａ。 • 遞移性：ａ＝ｂ，且ｂ＝ｃ， • 則ａ＝ｃ。

18. 數的運算關係： • ａ，ｂ，ｃ三個數滿足 • 加法交換律： • ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。 • 加法結合律： • （ａ+ｂ）+ｃ＝ａ+（ｂ+ｃ）。

19. 乘法交換律： • ａ×ｂ＝ｂ×ａ。 • 乘法結合律： • （ａ×ｂ）×ｃ＝ ａ×（ｂ×ｃ）。

20. 乘法對加法的分配律： • （ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 （乘法對加法的右分配律） • ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ。 （乘法對加法的左分配律）

21. 在數學中只討論加法和乘法二元運算。 • 3－5＝3＋(－5) • 3÷5＝3×(1/5) • 那些運算關係在減法或除法運算中也成立？

22. （ａ＋ｂ）－ｃ • ＝（ａ－ｃ）＋ｂ • ＝ａ＋（ｂ－ｃ） • ＝ａ－（ｃ－ｂ）。 • （ａ－ｂ）－ｃ • ＝（ａ－ｃ）－ｂ • ＝ａ－（ｂ＋ｃ）。

23. （ａ×ｂ）÷ｃ • ＝（ａ÷ｃ）×ｂ。 • （ａ÷ｂ）÷ｃ • ＝（ａ÷ｃ）÷ｂ • ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。

24. ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，下列算式中那些恆成立？ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，下列算式中那些恆成立？ • ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。 • ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。 • ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。 • ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。

25. 乘法對減法也滿足分配律。 • （ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ。(乘法對減法的右分配律) • ａ×（ｂ－ｃ）＝ａ×ｂ－ａ×ｃ。(乘法對減法的左分配律)

26. 除法對加（減）法： • 滿足右分配律： • （ａ＋ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ＋ｂ÷ｃ。 • （ａ－ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ－ｂ÷ｃ。 • 不滿足左分配律： • ａ÷（ｂ＋ｃ）≠ａ÷ｂ＋ａ÷ｃ。 • ａ÷（ｂ－ｃ）≠ａ÷ｂ－ａ÷ｃ。

27. 等量公理： • a，b，c三個數，若a＝b則滿足 • ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。 • ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。 • ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。 • ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠0）。

28. a，b，c三個數，若a＞b則滿足 • ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ。 • ａ－ｃ＞ｂ－ｃ。 • ａ×ｃ＞ｂ×ｃ（ｃ＞0）。 • ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ（ｃ＞0）。 • ａ×ｃ＜ｂ×ｃ（ｃ＜0）。 • ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ（ｃ＜0）。 • ａ×ｃ＝ｂ×ｃ（ｃ＝0）。

29. 5＋5＝10 • 5＋5＝5×2 • x＋x＝？ • 為什麼x＋x＝2x? • 為什麼x＋x要記成2x，不記成(x×2)?

30. (3＋4)×5＝7×5＝35 • (3＋4)×5＝3×5＋4×5＝15＋20＝35 • (3＋4) × x＝? • (x＋y) × 5＝?

31. 2ｘ＋5＝? • ｘ＋ｙ＝? • 「2ｘ」和「5」是否可以相加減? • 「ｘ」和「ｙ」是否可以相加減?

32. 「5公斤」和「5英磅」，合起來有多重? • 「2ｘ」和「5」為何可以相加減? • 「2ｘ＋5」和「5－y」為什麼可以相加減? • 有那些能力才能將「2ｘ＋5」視為可以被運算的已知數?

33. 「ｘ」是一個數字嗎？ • 「2ｘ＋5」是一個數字嗎？ • 「(2ｘ＋5)×6」是一個數字嗎？ • 「(2ｘ＋5)×6÷7」是一個數字嗎？ • 它們都可以再和其它的數字進行加減乘除運算嗎？

34. 未知數發展可以區分成三個層次： • 層次一：一個位置的概念。 • 層次二：傳統的未知數概念。 • 層次三：一個可以運算的數（理解 • 　　　　未知數定理的意義）。

35. 5746＋( )＝10832 • 未知數的角色只是一個位置的概念， 該位置填入某些數字後，就可以讓算式成立，但是目前不知道可以填入的數字是什麼。

36. 5746＋x ＝10832 • 5746＋甲＝10832 • 傳統的未知數概念，x或甲代表某一個確定的數字，只是該數字目前未知。

37. 如果未知數只是位置的概念或傳統的未知數概念，學童的想法只能算是算術，如果未知數的角色是代表一個可以運算的數，所進行的活動才是代數。如果未知數只是位置的概念或傳統的未知數概念，學童的想法只能算是算術，如果未知數的角色是代表一個可以運算的數，所進行的活動才是代數。

38. 算術中的未知數，可能只是一個位置，也可能代表傳統的未知數角色，它們都等待數值的發現。算術中的未知數，可能只是一個位置，也可能代表傳統的未知數角色，它們都等待數值的發現。 • 代數中的未知數，代表一個符號，它擁有其本身數學物件的本值，可以和其它的數進行運算。

39. 由未知數是否能像已知數一樣被運作，可以判斷是算術概念還是代數概念。由未知數是否能像已知數一樣被運作，可以判斷是算術概念還是代數概念。 • 當一個一元一次方程式等號兩邊都有未知數時，才能算是真正的代數問題。

40. 小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢? • 中年級學童有能力解決問題嗎？ • 中年級、高年級、國中教材都出現這類問題，他們的解題策略或記錄格式有何不同?

41. 5×3＝15……鉛筆的錢 • 8×4＝32……橡皮擦的錢 • 15+32＝47……鉛筆和橡皮擦的錢 • 47+40＝87……原有的錢 • 中年級學童應該有能力解題，並且使用多個算式記錄解題活動。

42. ( )－5×3－8×4＝40 • 5×3＋8×4＋40＝( ) • 高年級學童是先列式(將問題記成算式填充題)再解題。 • 教學的重點是列式以及逐次減項或解方程式的記法。

43. 小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢? • ( )－5×3－8×4＝40 • 5×3＋8×4＋60＝( ) • 那一種記法比較簡單?

44. ( )-5×3-8×4＝40 • 5×3+8×4+60＝( ) • 就問題記錄而言（將問題記成算式填充題），前者比較簡單。 • 就解題活動而言（算出算式填充題的答案），後者比較簡單。

45. 5×3＋8×4＋40＝( ) • ( )－5×3－8×4＝40 • 5×3＋3x＝21－x • 這三個問題的難度差不多嗎? • 記成( )與記成x難度差不多嗎? • 第1題是國小現在的教材。 • 第2、3題是94年版出現的教材。

46. 引入等量公理前： • 學童有能力解決等號右邊只有括號的算式填充題嗎？ • 學童有能力解決等號左邊有未知數的算式填充題嗎? • 有能力解決等號兩邊都有未知數的算式填充題嗎？

47. 5×(3＋8)＋40＝( ) • 如何記錄解題過程? • 使用多個算式記錄： • 使用逐次減項的記法：

48. 5×(3＋8)＋40 ＝5×11＋40 ＝55＋40 ＝95 • 國小稱為逐次減項的記法。 • 95是誰的答案?

49. 5＋3＝8－2＝65 • ＋3 • 8 • －2 • 你接受上面橫式的記法嗎? 6 • 你接受上面直式的記法嗎? • 為什麼學童會出現上面橫式記法?

50. 因為：5×(3＋8)＋40＝5×11＋40 • 5×11＋40＝55＋40 • 55＋40＝95 • 所以：5×(3＋8)＋40＝95 • 這是比較詳細的記法，主要的概念是等號的遞移性。