问题：

问题： • 利用Picard迭代法求初始值问题 y’=x^2+y^2, y(0)=0 近似解，且使近似解在区间 [0，0.5]内与精确解的误差不超过0.05

目的： • 解微分方程的问题大致可分为：初始值问题、边值问题和混合问题。那么如何利用Maple 软件包来处理这一系列问题，从而获得方程的解析解或近似解显的尤为重要。我们通过观察函数多次迭代后的分布规律，根据初始条件，获得微分方程的近似解，由此掌握微分方程的数值迭代解法，熟悉Maple软件包的运行环境。

我们定义函数 （其中）称为初值问题：的第n次近似解从而有下列公式成立：此为区间上，用n次近似来逼近精确解时的误差估计式，其中

L为李普希兹常数 事实上，由及迭代列：得：

设则由归纳法可知，对任意n次近似解，估计式成立。 /证毕！

主要思路： • 首先判断出满足唯一性条件的h、L和M，由判断出要进行的迭代次数n，应用Picard迭代即可解决问题。由于运算量过大，在迭代时可利用Maple软件包进行。下面根据条件推出n的值：

解. 由题意知x满足： 不妨假定则：从而：

从而代入式： 可得：所以求出第三次迭代式即可下面运用Maple软件包来解决迭代问题

该问题等价的积分方程为: 利用Maple去进行这些重复性的迭代: y0:=1; y1:=1+int(x^2+y0^2,x=0..x); y2:=1+int(x^2+y1^2,x=0..x); y3:=1+int(x^2+y2^2,x=0..x); y4:=1+int(x^2+y3^2,x=0..x);

回车后Maple的输出结果为：

综上所述：原方程的近似解为： 误差不超过0.05

结果分析: • 我们运用了简单的迭代函数解决了一个比较复杂的问题，从中看到了迭代法的重要性。然而其结果将随着迭代次数的逐步增加，从而逐渐趋向于精确值，但其只会无限靠近精确值，不会相等。

小结： • 我们用到了Maple很小的一部分。并且只解决了初始值的问题，那么对于边值问题和混合问题的处理，Maple则发挥了更加重要且有效的作用，这在我们今后的进一步学习中将涉及到。 • 有了良好的数学基础再加上Maple软件的熟练运用，必定使我们如虎添翼，将使得我们更有能力和信心去处理各种问题。

问题：

问题：

Presentation Transcript