麗澤大学経済学部 統計学 B-03 確率変数と確率分布 －確率変数と分布・期待値－

1. 麗澤大学経済学部統計学B-03確率変数と確率分布－確率変数と分布・期待値－麗澤大学経済学部統計学B-03確率変数と確率分布－確率変数と分布・期待値－ 清水　千弘

2. 前回までの講義の復習: 日常生活で，確率(probability)は，頻繁に用いられる。 　＊一般的な生活．天気予報，ルーレット，さいころ，カードゲーム 　＊社会人になったとき．営業確率，株式投資，住宅の購入 　　確率とは　　　　P(A) =nA／n ある事象Aが起こる確率 1.順列と組み合わせ 　　同様に確からしい現象の起こる比率－場合の数 離散型乱数とサイコロ 例：1個のサイコロ/2個のサイコロの和/2個のサイコロの組み合わせ 例：同時確率 2.確率 先験的／経験的／主観的／公理的 (0≦P{A}≦1,P{S}=1,排反事象ΣP{Ai}=1) 標本空間／標本点と確率／余事象 加法定理／和事象／積事象・同時確率／背反 条件付き確率／周辺確率／乗法定理／独立 ベイズの定理／ベイジアン／事前確率／事後確率 3.標本空間と同時確率 加法定理／和事象／積事象・同時確率／背反 例：サイコロを2回投げて目の和が5になる確率 例：サイコロの目の和の確率 4.Bayesの理論 ☆事前確率 単一の情報について選られる確率－固体数の割合など ☆事後確率 ある現象により情報が付加されたときの確率－相互に矛盾しない独立の情報は確率をより正確に表す

3. 本日の講義で修得すべき事項 • 5.1.確率変数 • 5.2.確率分布 • →以上は，直観的に理解してください。 • 5.3.期待値 • 5.4.分散 • →統計学Aで勉強した記述統計の知識の復習になります。

4. 確率変数と確率分布 確率変数(random variable)とは，確率的にその値が決定される変数であり，言い換えれば，実験よって値が決定される数量であり，その値は偶然によって決定される変数を意味する。また，確率分布とは，確率変数がとりうる値に対しての確率がどのように対応しているのかを表すものである。ここでは，簡単な代表的な例として，しばしば紹介される「サイコロの目の合計」について，紹介する。 サイコロの目の合計は，「サイコロを振る」という実験に基づくものであり，確率変数として扱われる。その標本空間は，下図のように３６個の点で表すことができる。 また，確率変数は，０．５または１．１４などといった中間値をとることがない「離散(discrete)確率変数」と，一定の範囲内でどのような値もとりうる「連続(continuous)確率変数」に大別される。 確率分布(probability distribution)は，全体として１の確率が，どのように配分されているのかを表すものである。離散確率変数に対応する代表的な確率分布としては，サイコロの目のでる確率のように，それぞれ１／６ずつ均等に確率が配分されている一様分布(uniform distribution)，２つのサイコロの目の和のでる確率のように２から１２までの間で三角形の形で確率が対応している三角分布(triangular distribution)，コインを３枚投げて表のでる確率を求めるような場合の二項分布(binomial distribution)，確率変数に対応する確率が幾何級数的に小さくなっていくような幾何分布(geometric distribution)などがある。 連続確率変数の場合には，変数のとりうる値に対して，一点ではなく，ある区間に対して，ある確率が対応することとなる。その場合，そのとりうる値のそれぞれに対しては，確率密度(probability density)が対応するという。 確率密度関数(f(x))とは，確率変数xの値に対して確率密度が対応する関係を表すものである。ここで，確率密度関数f(x)をもつ連続確率変数xがaとb(a＜b)の間をとる確率P(a≦x≦b)は，f(x)を区間a,bで積分した値となる。

5. 5.1.確率変数 • 確率変数(random variable)とは，標本空間の各標本点に対応して，その値が決まるような変数 • サイコロのケース：二つのサイコロを投げた時に出る目の和をxとする。 • ２．３．４．５．６．７．８．９．１．１１．１２のそれぞれの値が出る確率は，それぞれ何パーセントか? 計算が出来ることより，確率のものの考え方をきちんと理解しましょう!

6. 演習１．トランプゲーム • 1.トランプから４枚のカードを抜く。その中のハートの数をxとすれば，ハートの数が0.1.2.3.4のそれぞれの確率を求めよ! • (ヒント．トランプの枚数は５２枚。その中から，４枚のカードを引いたときの組み合わせの数を求める。さらに，ハートの数は１３枚である。１３枚の中からハートの数が０枚，１枚，２枚，３枚，４枚を引く組み合わせを計算する。例えば，ハートの数が３枚の場合は，１３枚の中から３枚を引く組み合わせを計算し，さらに，残りの３９枚の中から１枚を引く組み合わせを計算する。「組み合わせ(combination)」 nCr=nPr / r! =n!/(r!(n-r)!))

7. 5.2.確率分布 • 確率分布(probability distribution)は，全体として１の確率が，どのように配分されているのかを表すものである。離散確率変数に対応する代表的な確率分布としては，サイコロの目のでる確率のように，それぞれ１／６ずつ均等に確率が配分されている一様分布(uniform distribution)，２つのサイコロの目の和のでる確率のように２から１２までの間で三角形の形で確率が対応している三角分布(triangular distribution)，コインを３枚投げて表のでる確率を求めるような場合の二項分布(binomial distribution)，確率変数に対応する確率が幾何級数的に小さくなっていくような幾何分布(geometric distribution)などがある。 • 連続確率変数の場合には，変数のとりうる値に対して，一点ではなく，ある区間に対して，ある確率が対応することとなる。その場合，そのとりうる値のそれぞれに対しては，確率密度(probability density)が対応するという。 • 確率密度関数(f(x))とは，確率変数xの値に対して確率密度が対応する関係を表すものである。ここで，確率密度関数f(x)をもつ連続確率変数xがaとb(a＜b)の間をとる確率P(a≦x≦b)は，f(x)を区間a,bで積分した値となる。

8. 確率分布の種類(離散分布)

9. 先のトランプゲームまたはサイコロの目の和のケース先のトランプゲームまたはサイコロの目の和のケース サイコロの目の和 トランプゲーム 硬貨の表の枚数

10. 5-3．期待値 離散確率変数Xの期待値: 度数分布の場合: 分散: 度数分布の場合: 標準偏差:

11. 期待値:トランプゲームの戦略への応用 • A.B.Cさんの３人がトランプゲームをしています。 • ルール． • ・全員が持ち点１００点をもっている • ・トランプを最大２回引くことが出来る(１回も引かなくても良い) • ・カードを引いたら必ず元に戻す • ・エースが出たら１００点もらえ，それ以外であれば１００点減点される • １位になったものだけが生き残ることが出来る! • ［Aさんの戦略］ • ・一回もカードを引くことはしない • ［Bさんの戦略］ • ・一度はカードを引き，エースが出たらそこでやめよう。もしでなかったら，もう一度，カードを引こう。 • ［Cさんの戦略］ • ・カードを引けば，それだけ利益機会が増える。１回目にエースが出たとしても，もう一度，カードを引こう。 • →皆さんは，どのような戦略を立てるか??? • →合理的な選択基準はないのか???誰が一位になる確率が高いか??? • →期待値を計算する

12. A . B . C の期待値を計算する! • Aさんの期待値： • ・一回もカードを引くことはしない • 　Ｅ（Ａ）＝100　点　×　１　=１００ • Ｂさんの期待値： • ・一度はカードを引き，エースが出たらそこでやめよう。もしでなかったら，もう一度，カードを引こう。 • Ｃさんの期待値： • ・ １回目にエースが出たとしても，もう一度，カードを引こう。

13. 演習２．宝くじ • 2.１０００万通を発行する宝くじがある。それぞれの当選金と本数がわかっているとき，そのくじの期待値はいくらか。これが１本３００円で販売されているとき，これを購入することは得と考えるか損と考えるか，自分の意見を書け。

14. 具体例：実務での数値例

16. ３．チェビシェフの不等式