对数与对数运算

对数与对数运算

2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍.2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍. 假设经过x年,国民经济生产总值是2000年的2倍,依题意,有 a(1+8.2%)x=2a, 即 1.082x=2 指数x取何值时满足这个等式?

对数 一般地，如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

a>0,a≠1? log(-2)8 log01 log15 log11 对于某些N,值不存在不存在对于某些N,值不存在不存在对于某些N,值不存在不存在有无数个值对于N=1,值不唯一在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,所以ab=N中,N总是正数,即:零和负数没有对数. N>0

思考 (1)式子ab=N和logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有什么关系? 对数式与指数的关系指数对数 logaN=b ab=N 真数幂底数(a>0,a≠1)

思考 (2)求对数loga1, logaa (a>0,a≠1). 对于a>0,a≠1都有 a0=1,a1=a 所以 loga1=0 logaa=1 负数和零没有对数。

思考令b=logaN 知 ab=N 即 alogaN=N

我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数简记作 . 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。并且把简记作。常用对数：自然对数：

当a＞0，a≠1时， 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：例如：

(2) (4) (3) (5) 例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1) (2) (5) (3) (6) (4) 解：

例2.求下列各式中x的值：

(1)因为 所以 (2)因为所以解：

(3)因为 所以所以 (4)因为于是于是解：

例题讲解 例3 求下列各式的值:

练习求下列对数的值: (1)3 (2)-2 (3)5 (4)0 (5)2 (6)3 (7)-2 (8)1

巩固练习：教材P97 练习A1、2、3、4、5 练习B1、2、3

动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 8 3 5

动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 3 5 －2

动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 5 5

对数的运算法则 如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0有：

为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数 运算法则：

(1)设 ∴MN= 证明：由对数的定义可以得：即证得

仿照上面的证明方法，证明后两条运算 性质。

(2)设 ∴ 证明：由对数的定义可以得：即证得

(3)设 由对数的定义可以得： ∴ 证明：即证得

由对数的定义可以得： 其他重要公式1: 证明：设即证得

例4 计算 解 (1)log3(92×35)=log392+log335 =log334+5log33 =4+5=9;

思考交流 1.判断下列各式是否成立,如果不成立,举一个反例. 2.对数的运算性质有什么特点?

练习 1.求下列等式中的x的值: (1)logx81=2; (2)lg0.001=x; (3)10x+lg2=2000. 9 -3 3 2.求下列各式的值: -2 1.5 0 2 2 2

练习 3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1)2lgx+lgy+3lgz

证明：设 由对数的定义可以得：即证得其他重要公式2: 这个公式叫做换底公式

证明:由换底公式 取以b为底的对数得：还可以变形,得其他重要公式3:

（1） （3）（2）例3.计算：

(1) (2) 解： = 5+14 = 19

(3) 解： = 3

例4.用 表示下列各式：

(1) (2) 解：

课堂练习 巩固练习：教材P99 练习A1﹑2﹑3﹑4 练习B1﹑2﹑3

（1） （2）（3）（4）课堂练习 1.求下列各式的值：

（1） （2） lgｚ；（3）＝lgｘ＋３lgｙ－（4） 2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；（2）＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；

课堂小结 (1)对数的概念：对数、底数、真数；常用对数；自然对数。 (2)对数的运算：积、商、幂的对数运算法则； 3个重要公式。

课后作业 教材P99 练习A 1(2)(4)， 3(2)(4) 练习B1(2)(4), 2, 3

课本第86页习题2.2(A组) 第2﹑3﹑4﹑6题

对数与对数运算

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