第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 第一节函数一、函数的概念例1 在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的距离为s，如果取开始下落的时刻为t=0，则s与t之间的依赖关系由公式表示，其中g为重力加速度。若物体到达地面的时刻t=T，则当时间t在[0,T]上任取一个数值时，就可由上式确定出s的对应值。

例2 某地区工业生产第一年到第八年需求供电量预计为 • y=2000+40x • 其中y表示需求供电量（单位：兆瓦），x表示时序数（即第几年）。这个方程给出了两个变量x和y之间的关系：当x取区间[1，8]上任何一个自然数时，都有唯一确定的y与之相对应。

例3 由实验测得某金属轴在不同 • 温度下的长度L(m)，数据如下表所示： • 上表显示了变量L与t间的依赖关系。

定义设有两个变量x和y，D为一非空实数集。如果变量x在D内任取一个确定数值时，变量y按照一定的规则f有唯一确定的数值和它对应，则称对应规则f为定义在D上的一个函数，x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。 • x所对应的y称为x处的函数值，记为 • y=f(x) • 函数值全体称为函数的值域，记为W。

由于我们常常是通过研究函数值来研究函数，所以也称y=f(x)是x的函数。由于我们常常是通过研究函数值来研究函数，所以也称y=f(x)是x的函数。 • 两个函数相同必须是对应关系相同，定义域也相同。 • 函数的两个要素：定义域、对应关系。

回顾： • 例1：，定义域D=[0,T]，值 • 域W=[0, ]。 • 例2：y=2000+40x，定义域 • D={1,2,3,4,5,6,7,8}。 • 例3：定义域D={10,20,30,40,50}。

若，则称函数在x0有定义。 函数值记号：多值函数：如y2=x确定（单值分支：如）单值函数（我们一般只讨论单值函数）

分段函数：在定义域内的不同范围内用不同的解析式表示的函数。分段函数：在定义域内的不同范围内用不同的解析式表示的函数。函数y=f(x)的图象：平面上点 {(x,y)|y=f(x), } 的全体。函数的三种表示法：解析法（公式法）、图象法、表格法。

分段函数的例子： 如，电子技术中的三角波，它的电压与时间的关系为 u E O t T 定义域D=[0,T]，值域W=[0,E]。

y 又如，符号函数 1 x O -1 定义域D= ，值域W={-1,0,1}

再如， y y=|x| x O 定义域D= ,值域W=

二、初等函数 1.基本初等函数（1）常数函数：y=C （2）幂函数：y=xa （3）指数函数：y=ax （4）对数函数：y=logax （5）三角函数：sinx,cosx,tgx,ctgx,secx,cscx （6）反三角函数：arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx

2.复合函数 定义设y是z的函数y=f(z)，而z是x的函数z=g(x)。若对于x值所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，则y成为x的函数y=f[g(x)]，此时，称y为x的复合函数，z称为中间变量。例如，y=1+z2 ，z=sinx,复合：y=1+sin2x 又如，y=loga是由y=logaz和复合而成的函数

注意： （1）不是任何两个函数都可形成复合函数的。如：y=arcsinz，z=2+x2，但y=arcsin(2+x2)无意义。（2）复合函数的中间变量可以不止一个。如：是由， u=log2v，v=sinx复合而成的。

例4 指出下列函数的复合过程： (1) y=sin3x (2) y=5lnsinx (3) y=tg5 3.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

例如： 都是初等函数。

电子技术中常用的“单位阶跃函数” f(t) 1 O t 不是初等函数。分段函数一般不是初等函数。但是初等函数，因为y=|x|=

4. 双曲函数 双曲正弦函数：双曲余弦函数：双曲正切函数：双曲余切函数：

y y=shx与y=chx的图象： y=chx y=shx 1 x y=shx的性质:定义域为，函数为奇函数，图形分布在一、三象限，经过原点，在内单调增加。 O 数为偶函数，图形在一、二象限，经过点（0，1），在内单调减少；在内单调增加。 y=chx的性质:定义域为，函

由双曲函数的定义，不难推出类似于三角函数的一些恒等式：由双曲函数的定义，不难推出类似于三角函数的一些恒等式： (1) ch2x-sh2x=1 (2) sh2x=2shxchx, ch2x=ch2x+sh2x (3) sh2x=(ch2x-1)/2, ch2x=(ch2x+1)/2 (4)

5.函数的几种特性 单调性、奇偶性、周期性（中学已学过）定义设函数y=f(x)在区间E上有定义。若存在一个非负数M，使得对任意的，都有|f(x)| M，则称该函数为有界函数，否则称该函数为无界函数；若存在一个数L，使得对任何，有f(x) L，则称函数f(x)有上界；若存在一个数L使得f(x) L，则称函数f(x)有下界。

例如，f(x)=sinx在上有界（|sinx| 1）在(0,1)内无界 6.正弦函数称为正弦（型）函数初相：振幅：|A|；角频率：；相位：；最小正周期：

将的图形与y=sinx 的图形进行比较，就能看出对图形的影响： (1) y=sinx y=Asinx（振幅变换） (2) y=Asinx y=Asin x（周期变换） (3) y=Asin x y=Asin( ) （相位变换）

三、建立函数关系的例题 例5 将直径为d的圆木料锯成截面为矩形的木材，列出矩形截面两边长之间的函数关系式。 d y x

例6 在机械装置中常用到一种曲柄连杆机构（如图），当主动轮转动时，连杆AB带动滑块B作往复直线运动，设主动轮半径为r，转动等角速为，连杆长度为，求滑块B的运动规律。 A r B O C s s

从上面两例中可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分清问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个变量应作为自变量，哪个变量作为函数，并且习惯上用字母区别它们，然后把变量固定下来；利用物理定律和几何关系或其它知识列出变量间的等量关系，并进行简化，便得到所需要的函数关系；找出函数关系后，一般还要根据题意写出函数的定义域。从上面两例中可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分清问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个变量应作为自变量，哪个变量作为函数，并且习惯上用字母区别它们，然后把变量固定下来；利用物理定律和几何关系或其它知识列出变量间的等量关系，并进行简化，便得到所需要的函数关系；找出函数关系后，一般还要根据题意写出函数的定义域。

P10: • 1(5)(6). 3. 4(3)(5). 5(3). • 6(2). 7(2). 9(4). 10. 12 布置作业：

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