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3.2 线性微分方程的基本理论. 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程,它的理论发展十分完善,本节将介绍它的基本理论. 一、基本概念. n 阶线性 微分方程 :. 我们将未知函数. 及其各阶. 导数. 均为一次的 n 阶微分方程,. 称为 n 阶线性微分方程. 它的一般形式为 :. 式中. 及. 是区间. 上的连续函数。. 如果. 式中的. n 阶线性齐次 微分方程 :. 则 (3.2.1) 变为. 我们称以上方程为 n 阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程 , ( 3.2.1 ) 称非齐线性方程。. 上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。.
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3.2线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程,它的理论发展十分完善,本节将介绍它的基本理论.
一、基本概念 n阶线性微分方程: 我们将未知函数 及其各阶 导数 均为一次的n阶微分方程, 称为n阶线性微分方程. 它的一般形式为:
式中 及 是区间 上的连续函数。 如果 式中的 n阶线性齐次微分方程: 则(3.2.1)变为 我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程,(3.2.1)称非齐线性方程。
上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的 存在惟一性定理.
定理3.1:如果(3.2.1)的系数 及右端函数 在区间 上连续, 则对任一个 及任意的 方程(3.2.1)存在惟一的解 满足下列初始条件
引入 线性微分算子: 称L为线性微分算子. 例如: 性质3.1 为常数. 性质3.2
二、齐次线性方程解的性质和结构 定理3.2 (叠加原理) 如果 是方程(3.2.2)的n个解, 则它的线性组合 也是方程(3.2.2)的解,这里 是常数.
例1验证 是方程 的解. 解: 分别将 代入方程, 得 所以为方程的解.
基本解组: 如果方程(3.2.2)的任意一个解 都可以表示为 , 则称 是方程组(3.2.2) 的基本解组。 线性相关: 对定义在区间(a, b)上的函数组 如果存在不全为0的常数 ,使得
在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关,不然称这些函数线性无关.在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关,不然称这些函数线性无关. 例2:函数 在任何区间上都是线性 无关的,因为如果 (3.2.5) 只有当所有的时才成立.
则 (3.2.5) 事实上, 如果至少有一个 式的左端是一个不高于n次的多项式,它最多可有n个不同的根 . 因此, 它在所考虑的区间上不能有多于n个零点, 更不可能恒为零. 注1:在函数 中有一个函数 等于零, 则函数 在(a,b)上线性相关。
在任何区间上都线性无关. 在任何区间上都线性相关. 注2:考虑到两个函数构成的函数组 如果 或 在(a, b) 上有定义, 则在(a,b)上线性无关的充要条件为 在(a,b)上不恒为常数. 或 例3:
注3:函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取注3:函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取 的区间。 例4:函数 上是线性 无关, 而在 和 上是线性相关的. 事实上 在区间 上不是常数, 分别在区间 和 上是常数.
Wronskian 行列式: 由定义在区间(a, b)上的 k个k-1次可微函数 所作成的行列式 称为这些函数的Wronskian行列式, 通常记做
行列式恒等于零, 即 . 定理3.3如果函数组 在区间 (a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian 证明: 由假设知存在一组不全为零的常数 使得 依次将此恒等式对t微分, 得到n个恒等式
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在 非零解, 则必有
推论 3.1 如果函数组 的Wronskian行列式在区间(a, b)上某点 处不等于0, 即 ,则该函数组在区间 上线性无关。 注:定理3.3的逆定理不一定成立.例
显然对所有的t, 恒有 但 在 上线性无关. 事实上, 假设存在恒等式 则当 时, 有 当 时, 有 故 在 上线性无关.
定理3.4 若函数组 是方程(3.2.2) 在区间(a,b)上的n个线性无关的解,则它们的 Wronskian 行列式 在该区间上任何点都不为零. 证明: 用反证法 使得 假设有 考虑关于 的齐次线性代数方程组
其系数行列式 故它有非零解 现以这组解构造函数 由定理3.2 知, 是方程(3.2.2) 的解. 又因为
即这个解满足初始条件 又 也是方程(3.2.2)满足初始条件的解, 由解 的惟一性知, 由 不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.
推论3.2:设 是方程 (3.2.2) 在区间(a,b)上的n个解。如果存在 使得它的Wronskian 行列式 则该解组在(a,b)上线性相关. 推论3.3方程(3.2.2)的n个解 在其定义区间(a,b)上线性无关的充要条件是在 该区间上 存在一点 使得
下面几个定理给出了线性无关解组, 基本解组, 及通解的关系. 定理3.5 n阶齐次线性方程组(3.2.2)一定存在n 个线性无关的解. 证明: 由定理3.1 知, 方程满足初始条件
的解一定存在, 因为 所以这n个解一定线性无关, 故定理得证. 定理3.6如果 是n阶齐次方程 (3.2.2)的n个线性无关的解。则它一定是该方程的 都可以 基本解组,即方程(3.2.2)的任一解 表示成 证明: 设 是方程 (3.2.2) 的任一解, 并且满足条件
考虑方程组 由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的 Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零. 因而上面的方程组有惟一解 现以这
组解构造函数 由解的叠加原理 和惟一性定理得 即 定理3.7 (通解结构定理) 若 是方程(3.2.2)的n个线 性无关的解,则方程的通解可以表示成 其中 是任意常数.
综上得到下列等价命题. 定理3.8 设 是方程(3.2.2)的n个解, 则下列命题等价 (1) 方程(3.2.2)的通解为 (2) 是方程的基本解组. (3) 在(a,b)上线性无关. (4) 存在 使 (5) 任给 有
设 是(3.2.2)的任意n个解, 是它的Wronskian行列式,则对(a,b)上任意 一点, 都有 上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式. 注1: 在 内有一点为零,则在整个 上恒为零. 定理 3.9 (刘维尔公式)
注2:对二阶微分方程 若 是方程的一个解,则可得通解. 设是 与 不同解,则由刘维尔公式可以推得 用 乘以上式两端可得
所以 与 线性无关. 由此得 取 则 为另一个解,因为
例5求方程 的通解. 解:易知 为通解,所以
三、非齐次线性方程解的结构 定理3.10 n阶线性非齐次方程 (3.2.10) 的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。
是方程 (3.2.10) 的一个特解, 证明: 设 是方程 (3.2.2) 的通解。首先我们证明 是方程 (3.2.10) 的解。事实上 所以 即 是方程 (3.2.10) 的解。
其次证 是方程 (3.2.10) 的通解。 即证对于(3.2.10)的任意一解 总可以表示为 中的任意常数取 其中 是由 某一特定的值而得到的。事实上, 因为 所以 是方程(3.2.2)的解,其中 可由 中的任意常数取某一特定的值而得到。 于是
定理3.11设 与 分别是非齐次线性方程 和 的解,则 是方程 的解。
证明:由已知可得 因为 所以 是方程 的解。
常数变易法求特解 设 是方程(3.2.2)的n个线性 无关的解, 因而 (3.2.2) 的通解为 (3.2.11) 为求 (3.2.1) 的一个特解, 将(3.2.11) 中的 常数看成 关于t 的函数, 此时(3.2.11) 式变为 (3.2.12) 将 (3.2.12) 代入 (3.2.1) 得到一个 所满足的关系式.
我们还需要另外 n-1个条件来求出 在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件. 对 (3.2.12) 式两边对t 求导得 令 得到
对上式两边继续对t 求导, 并象上面的方法一样, 我们得到 继续上面的做法, 直到获得第 n-1 个条件
最后, 将上式两边对t 求导得 将上面得到的 代入 (3.2.10), 得到 所满足的方程组 由n 个未知函数
该方程组的系数行列式恰好是 (3.2.2) 的n 个线性 无关解的 Wronskian 行列式, 故它不等于零, 因而 该方程组有惟一解. 由上面方程组求得
这样我们就得到了(3.2.1) 的特解. 从而 (3.2.1)的通解为
例6求方程 的通解,已知它的对应 齐次线性方程的两个解为 解:利用常数变易法,令 将它带入方程,可得关于 的方程
解得 于是原方程的通解为