虚位移原理

1. 分析动力学基础/虚位移原理 虚位移原理 • 前言 • 虚位移 • 虚位移原理及其应用 • 广义力 质点系平衡条件 理论力学CAI 分析力学基础

2. 分析动力学基础/虚位移原理/前言 前言 • 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理 • 从力的功出发直接建立起系统处于平衡时主动力间的关系 • 矢量力学：主动力与约束力间的关系 • 虚位移原理与达朗贝尔原理一起构成了分析动力学的基础 理论力学CAI 分析力学基础

3. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 虚位移 • 质点系运动学关系的描述 • 实位移与虚位移 • 独立（广义）坐标虚位移 理论力学CAI 分析力学基础

4. 质点Pk 的矢径 惯性基 动力学方程 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 质点系运动学关系的描述 质点系 • 笛卡儿坐标 质点Pk笛卡儿坐标 质点系笛卡儿坐标阵 • 自由质点系 处理动力学问题一般方法 运动 q(t) 外力 理论力学CAI 分析力学基础

5. 动力学方程 约束方程 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 • 非自由质点系 质点系 质点系笛卡儿坐标阵 不独立 约束方程 处理动力学问题一般方法 外力 运动 q(t) 理论力学CAI 分析力学基础

6. 动力学方程 约束方程 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 • 非自由质点系的独立坐标 质点系 质点系笛卡儿坐标阵 不独立 约束方程 自由度 独立坐标 广义坐标 非独立坐标 处理动力学问题独立坐标方法 运动 w(t) 运动 u(t) 外力 理论力学CAI 分析力学基础

7. 动力学方程 约束方程 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 • 非自由质点系约束方程的另一形式 质点系 质点系笛卡儿坐标阵 不独立 自由度 另外定义独立（广义）坐标 约束方程 处理动力学问题独立坐标方法 运动 w(t) 运动 q(t) 外力 理论力学CAI 分析力学基础

8. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例 质量为m，摆长为l的单摆 [例] 试描述摆的运动 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

9. 惯性基 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解 笛卡儿坐标 方法1 约束方程 动力学方程 [解] 方法2 自由度 另外定义独立（广义）坐标 约束方程 动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

10. 动力学方程 约束方程 约束方程 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 实位移与虚位移 外力 真实运动 q(t) 唯一性（初始条件） • 真实运动 实位移 • 可能运动 可能运动 q*(t) 无穷多可能 可能位移 可能位移满足的方程 理论力学CAI 分析力学基础

11. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 可能位移 无穷多可能 • 虚位移 虚位移 微分 虚位移满足的方程 虚位移理解为约束方程的等时变分 定常约束：虚位移即为可能位移，实位移为无数虚位移之一 非定常约束：虚位移一般不是可能位移 理论力学CAI 分析力学基础

12. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 独立坐标虚位移 • 描述1 约束方程 自由度 非独立坐标 独立（广义）坐标 约束方程微分 非独立坐标与独立坐标虚位移间关系 理论力学CAI 分析力学基础

13. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移 另外定义独立（广义）坐标 约束方程 • 描述2 约束方程微分 理论力学CAI 分析力学基础

14. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例 质量为m，摆长为l的单摆 [例] 求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

15. 惯性基 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解 笛卡儿坐标 方法1 笛卡儿坐标虚位移 约束方程 等时变分 [解] 定义独立（广义）坐标 非独立坐标 笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系 方法2 自由度 另外定义独立（广义）坐标 约束方程 笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系 等时变分 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

16. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例 曲柄滑块机构，曲柄长r，连杆长l 该机构只有一个独立变量令曲柄的转角j为广义坐标 l [例] r 求点A与B的虚位移与广义坐标虚位移的关系 理论力学CAI 分析力学基础

17. O 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解 参考基： 方法1（坐标法） 写出点A的坐标与广义坐标的关系 [解] 等时变分 附加几何关系 写出点B的坐标与广义坐标的关系 等时变分 等时变分 理论力学CAI 分析力学基础

18. O 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解 参考基： 方法2（速度法） 写出点A的速度与广义速度的关系 方向设定 理论力学CAI 分析力学基础

19. O 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解 参考基： 写出点B的速度与广义速度的关系 连杆的长度不可改变，点A与点B的速度矢量在杆上的投影相等 理论力学CAI 分析力学基础

20. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用 虚位移原理与应用 具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为：系统内所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零，即 • 原理描述 元功dW称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理 理论力学CAI 分析力学基础

21. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用 讨论质点系平衡 • 应用 优点：直接给出了主动力之间的关系而无需顾及理想约束力 理论力学CAI 分析力学基础

22. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例 曲柄滑块机构。在图示位置，系统受到力偶、铅垂力与水平力，该机构处于平衡 l [例] r 求这些主动力(偶)之间的关系 理论力学CAI 分析力学基础

23. O 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解 参考基： l 以系统为对象 r 虚功原理 [解] 独立坐标的变分 理论力学CAI 分析力学基础

24. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例 图示机构是由8根连杆铰接成3个相同的菱形。菱形的边长为b，铰O固定，铰A、B与C限定在铅垂线上运动。不计各杆的重量 [例] 求机构在如图所示位置处于平衡时，力FA与FC的比 理论力学CAI 分析力学基础

25. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解 参考基： 定义角j为广义坐标 一个自由度 虚功原理 [解] 点A与C的坐标与广义坐标虚位移的关系 独立坐标的变分 理论力学CAI 分析力学基础

26. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用 将待求约束力相关的约束解除，把该约束力作为主动力处理，从而可得到它与主动力的关系 • 应用：平衡态理想约束力的计算 每次解除一个自由度 理论力学CAI 分析力学基础

27. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例 [例] 图示一三孔拱桥，不计桥自重，桥上有两集中载荷 求支座C的理想约束力 理论力学CAI 分析力学基础

28. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解 [解] 参考基： 解除约束C，加上约束反力 系统有一个自由度 广义坐标 虚功原理 理论力学CAI 分析力学基础

29. 点G、K与C的坐标与广义坐标 虚位移的关系（速度法） 瞬时平动 方向 方向 方向 瞬心O 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解 参考基： 理论力学CAI 分析力学基础

30. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解 参考基： 理论力学CAI 分析力学基础

31. 分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用 小结 • 写出主动力的虚功的表达式 • 通过运动学的关系作等时变分，得到各点的虚位移与独立坐标变分的关系式 • 坐标法 • 速度法 • 代入虚功的表达式，得到只含独立坐标变分的等式 • 得到了主动力的关系 理论力学CAI 分析力学基础

32. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 广义力 质点系平衡条件 • 广义力 • 质点系平衡条件 • 计算广义力的方法 • 势力场中质点系平衡条件与稳定性 理论力学CAI 分析力学基础

33. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 广义力 质点系 质点系笛卡儿坐标阵 不独立 自由度 定义独立（广义）坐标 约束方程 理论力学CAI 分析力学基础

34. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 笛卡儿坐标阵 广义坐标 约束方程 等时变分 主动力的虚功 令 理论力学CAI 分析力学基础

35. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 笛卡儿坐标阵 广义坐标 约束方程 主动力的虚功 作用于系统所有主动力关于广义坐标 wj 的广义力 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲 当wj为长度时，Qj为力量纲 当wj为角度时，Qj为力偶量纲 理论力学CAI 分析力学基础

36. l r O 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例 [例] 理论力学CAI 分析力学基础

37. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 质点系平衡条件 虚位移原理 具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为所有关于广义坐标的广义力均为零 理论力学CAI 分析力学基础

38. l r O 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例 [例] 理论力学CAI 分析力学基础

39. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件 计算广义力的方法 • 方法1 • 列出所有主动力的虚功 • 根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关系 • 进行广义坐标虚位移的同类项合并，即得到关于各广义坐标的广义力 • 方法2 • 取某广义坐标的变分dwj，令其他广义坐标的变分为零 • 计算由于该变分引起的各主动力所作的元虚功dWj 理论力学CAI 分析力学基础

40. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例 图示一双摆，摆长分别为l1与l2，质量分别为m1与m2 在摆端B上受到一水平力 [例] 求系统平衡时，双摆的位形 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

41. 参考基： 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解 质心C1坐标 质心C2坐标 [解] 点B坐标 主动力的虚功 系统有两个自由度 取广义坐标 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

42. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解 求广义力 参考基： 令 主动力的虚功 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

43. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解 求广义力 参考基： 令 主动力的虚功 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

44. 分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解 平衡条件 平衡位形 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

45. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 势力场中质点系平衡条件与稳定性 • 势力场质点系平衡条件 • 平衡稳定性 理论力学CAI 分析力学基础

46. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 势力场质点系平衡条件 质点系 • 广义力 主动力 有势力 势函数 理论力学CAI 分析力学基础

47. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 质点系 势函数 或 广义力 理论力学CAI 分析力学基础

48. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 • 平衡条件 或 在势力场中，质点系在平衡位形处的势能取极值 理论力学CAI 分析力学基础

49. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 平衡稳定性 当质点系在某平衡位形处受到微小扰动时，其位形只在平衡位置附近运动而不产生明显的偏离，则称为该平衡位形是稳定的，否则称为不稳定 • 定义 在实际问题中只有稳定的平衡位形才可能存在 不稳定 稳定 理论力学CAI 分析力学基础

50. 分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性 若质点系在平衡位形上的势能具有极小值，则该平衡位形是稳定的 • 拉格朗日-狄利克雷(P. G. L. Dirichlet)定理 • 李亚普诺夫(A. M. Lyapunov)定理 若质点系在平衡位形上的势能取极大，则平衡位置不稳定 不稳定 稳定 理论力学CAI 分析力学基础