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填滿方格

填滿方格. 問題 1. IMSOP2006 第 3 題. ，. 問題 1.1. 按照表 1 填數字的模式，第 7 列，第 7 行是哪個數字？ 問題 1.2. 100 在第幾列，第幾行？ 問題 1.3. 150 的下面一格為哪一個數字？. 研究方法. 1. 直觀觀察。 2. 發覺規律。 3. 說明規律成立. 解決問題 1. 1.1. 按照表 1 填數字的模式，第 7 列，第 7 行是哪個數字？ 對角線上的數列： 1 ， 5 ， 13 ， 25 ， 41 ，… 上述數列相鄰項的差： 4 ， 8 ， 12 ， 16 ，…

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  1. 填滿方格

  2. 問題1. IMSOP2006第3題 ， 問題1.1. 按照表1填數字的模式，第7列，第7行是哪個數字？ 問題1.2. 100在第幾列，第幾行？ 問題1.3. 150的下面一格為哪一個數字？

  3. 研究方法 1.直觀觀察。 2.發覺規律。 3.說明規律成立

  4. 解決問題1 1.1. 按照表1填數字的模式，第7列，第7行是哪個數字？ 對角線上的數列：1，5，13，25，41，… 上述數列相鄰項的差：4，8，12，16，… 發現：對角線數列相鄰數的差即是依4的1倍、2倍、3倍、…排列

  5. 說明對角線數列的規律成立

  6. 對角線數列相鄰項的差為4的倍數

  7. 問題1.2.100在第幾列，第幾行？ 順時鐘旋轉90度

  8. 問題1.2的解法 1.確定題目給的數在三角形的哪一層。 2.求該層的最小值，並確定數字走向。 3.求最小值與題目給定數的差距，便能計算出題 目所求。

  9. 問題1.3 150的下面一格為哪一個數字？

  10. 解決問題1.3 1.先算出150位於「三角形」中的第17層。 2.可知問題1.3問的數位於三角形中的第18層。 3.第17層最大值為153 153-150＝3 4.第18層最小值為154 154+3＝157即為所求

  11. 解決問題1.3的一般化步驟 設題目問：n的下面一格為哪一個數字？ 1.先算出n位於「三角形」中的第a層。 2.可知問題1.3問的數位於三角形中的第a+1層。 3.求出第a層最大值為M，並令 d＝M-n 4.第a+1層最小值為M+1 (M+1)+d＝2M+1-n 即為所求

  12. 自己立新的題目 問題2.1. 如果按照表7填數字的模式，第7列，第7行是哪個數字？ 問題2.2. 100在第幾列，第幾行？ 問題2.3. 150的下面一格為哪一個數字？

  13. 解決問題2.1 如果按照表7填數字的模式，第7列，第7行是哪個數字？ 將對角線上的數字列出來 1，5，11，21，33，49，67，… 我將上列數列的相鄰數差列出來 4，6，10，12，16，18，… 它是交錯型等差數列 4，10，16，… 6，12，18，…

  14. 解決問題2.1 求對角數列上第m個數的方法 1+4+6+10+12+16+18+…+第m個數 若m是奇數，則第m個數為 若m是偶數，則第m個數為

  15. 為何對角線上是交錯型等差數列？ 相鄰項的差，前兩項的差距區域可完整嵌入下兩項差距區域裡，其後1、2列(1、2行)會多出6格。

  16. 解決問題2.2 100在第幾列，第幾行？ 以下將按4個步驟來解決 一、先找出100在哪一層階梯。 二、找出上對角線和100同層的數值 與其座標。 三、計算兩者之間的差。 四、從差及數值座標、階梯構造 去推算100的座標。

  17. 解決問題2.2 步驟1. 先找出100在哪一層階梯。 問題2的表格可以分成一層層的階梯，如下表。

  18. 解決問題2.2 先掌握每一層階梯的最小最大值 便能找出100在哪一層階梯 78≦100≦100

  19. 更改問題2.2給的數據 • 因為100剛位於第12列第1行，不容易找出解法，故我更換題目2.2的數字為200。 • 188≦200≦222，而188和 222分別為第12層的最小值和最大值。

  20. 解決問題2.2 步驟2. 找出上對角線和200同層的數值與其座標。 1.200在第12層階梯，上對角線和200同層 的數值為204。 2.204的座標為第12列第13行。

  21. 上對角線 1.上對角線是指從第1列第2行出發，西北-東南向的 數列。 2.上對角線的數列，相鄰項的差，都形成以6為公差 的交錯型等差數列。 3.上對角線第m個數就在第m層階梯上

  22. 解決問題2.2 步驟3. 計算兩者之間的差。 步驟4. 從差去及數值座標，階梯構造(見次頁)去推算100的座標。 204-200＝4 4÷3＝1…1 12+1＝13 13+1＝14 2×1+1＝3 12-3＝9 一層階梯可看作一些類L型的連塊組成 問題2.2的答案：200在第9列第14行。

  23. 階梯的構造 奇數層 偶數層

  24. 為何上對角線數列的差形成的數列，為兩公差均為6的交錯型數列？為何上對角線數列的差形成的數列，為兩公差均為6的交錯型數列？ 理由和說明問題2.1的理由類似，此不贅述。

  25. 問題2.3* n的下面一格為哪一個數字？ 解題步驟 1.先求出n位於第m層階梯，並得出該層階梯的最大值M。 2.算出上角線位於該層階梯上的數值k，可得k與n的差 距為d。 3.藉由m的奇或偶或判斷出n位於M的左側或右側。

  26. 問題2.3* n的下面一格為哪一個數字？ 解題步驟 4.若n位於m的左側，依d除以3後的餘數，有3種類型的結果 4.1. d除以3餘2，則所求＝n±1 4.2 d除以3餘1，則所求＝n+2×(M-n)+ 4.3 d被3整除，則所求＝n+2×(M-n)+ 5.若n位於m的右側，依d除以3後的餘數，有3種類型的結果 5.1. d除以3餘2，則所求＝n±1 5.2 d除以3餘1，則所求＝n±1 5.3 d被3整除，則所求＝n+2×(M-n)+

  27. 研究更一般化的填滿數字之規則 ─第一列先填滿a行

  28. 第1列先填滿4行 填數字的規則1：從第1列前4行依序填入1、2、3、4，之後延著已填 數字的格子來回填上新的數字。 發現： 1.對角線的數列，相鄰項的差是以8為公差的交錯型等差數列。 2.能用階梯的模式分成一層一層。 3.從第1列第3行出發，西北-東南向的數列，我稱為「上2對角線」，相鄰項 的差也是以8為公差的交錯型等差數列。

  29. 第1列先填滿5行 填數字的規則2：從第1列前5行依序填入1、2、3、4，5，之後延著已填 數字的格子來回填上新的數字。 發現： 1.對角線的數列，相鄰項的差是以10為公差的交錯型等差數列。 2.能用階梯的模式分成一層一層。 3.從第1列第4行出發，西北-東南向的數列，我稱為「上3對角線」，相鄰項 的差也是以10為公差的交錯型等差數列。

  30. 第1列先填滿6行 填數字的規則3：從第1列前6行依序填入1、2、3、4，5，6，之後延著已填 數字的格子來回填上新的數字。 發現： 1.對角線的數列，相鄰項的差是以12為公差的交錯型等差數列。 2.能用階梯的模式分成一層一層。 3.從第1列第4行出發，西北-東南向的數列，我稱為「上3對角線」，相鄰項 的差也是以12為公差的交錯型等差數列。

  31. 第1列先填滿a行 填數字的規則4：從第1列前a行依序填入1、2、3、…、a之後延著已填 數字的格子來回填上新的數字。 發現： 1.對角線的數列，相鄰項的差是以2a為公差的交錯型等差數列。 2.能用階梯的模式分成一層一層。 3.從第1列第a-1行出發，西北-東南向的數列，我稱為「上a-1對角線」，相鄰項的差也是以2a為公差的交錯型等差數列。

  32. 應用 對於「先從第1列前a行填3、4、5、6、…、a，之後延著已有數字的格子填入新數」這種模式的題目，根據上一頁發現的規律，表示我可以計算 1.對角線上第m個數。 2.算出給定數字的座標。 3.算出給定數字下一格的值。

  33. 未來展望 1.探討不同模式填滿方格的方法數有多 少種。 2.是否每種填滿方格的方式都能有規律 去算出數字的座標，或某座標的數值 為何？

  34. 參考資料 【1】2006國際小學數學及科學奧林匹亞。九章數學教育基金會。上網日期：2012年9月2日。取自 http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/viewcat.php?cid=24 【2】南一書局國小數學教科書編撰委員會(民99)。等量公理。國民小學數學課本第十一冊。臺南市。南一文教事業股份有限公司。 【3】科展群傑廳(2012)。國立科學教育館。2012年9月01日取自http://science.ntsec.edu.tw/Science.aspx?cat=21&a=6821 【4】南一書局國小數學教科書編撰委員會(民100)。怎樣解題(一)(二)。國民小學數學課 本第十二冊。臺南市。南一文教事業股份有限公司。

  35. 報告完畢，請評審多多指教。

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