Lietojumi

1. Lietojumi Jebkurš uzdevums, kurā līdz ar kāda lieluma x maiņu ir jāņem vērā arī šīs maiņas ātrums x’, var tikt aprakstīts ar diferenciālvienādojumu. Daudzos uzdevumos vienādojuma sastādīšanas pamatprincips ir: “lieluma maiņas ātrums ir vienāds ar tā palielināšanās ātrumu mīnus samazināšanās ātrums” Ja uzdevumā jāievēro arī paātrinājums, kā tas notiek daudzos mehānikas uzdevumos, procesu modelē ar otrās kārtas vienādojumu. Šādos uzdevumos bieži izmanto Ņūtona otro likumu F=ma.

2. Uzdevumi par ceļu un ātrumu x – pārvietojums, t – laiks, x’=v - ātrums Ja ātrums ir laika funkcija v=f (t), rodas diferenciālvienādojums: Ja zināms kustīgā punkta stāvoklis fiksētā sākuma momentā atrisinot Košī problēmu, viennozīmīgi atrodam stāvokli patvaļīgā momentā t:

3. Ja f (t)=const, vienādojums apraksta vienmērīgu kustību, f (t)=at, kustība ir vienmērīgi paātrināta. Analoģiska Košī problēma apraksta kustību arī gadījumā, ja ātrums ir ne tikai laika, bet arī noietā ceļa funkcija v=f (t,x):

4. Sastādot modeli, būtiska loma ir vienādojumā ieejošo parametru noteikšanai. • Eksperimentālo datu izmantošana. • Piemērs. Sprinta modelis: (1973.g. J.B.Keller) • http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/sprints/sprints1.html , dv/dt = A - v/b A = 12.2 m/sec2 , b = 0.892 sec.

5. Čempionāta rezultāti 1993.gadā:

6. Grafikā labākā un sliktākā rezultāti:

7. Atrisinot vienādojumu:

8. Mehānikas uzdevumi, kas izmanto Ņūtona II likumuKrišana 1. Brīvā krišana

9. 2. Krišana, ievērojot gaisa pretestību a) Viskozā berze

10. b) Gaisa pretestība proporcionāla krišanas ātruma kvadrātam. Piem., izpletņa lēcējs: Skat. piemēram: http://www.math.hmc.edu/codee/html-issues/summer95X5Fsaved2-3.html c) Astronomiskos mērogos. Debess ķermeņa krišana. m - ķermeņa masa, M – Zemes masa, x – attālums līdz Zemes virsmai, R – Zemes rādiuss, G – gravitācijas konstante

11. Atsperes a) Absolūti elastīga atspere. x – pārvietojums no līdzsvara stāvokļa, darbojas tikai elastības spēks, kurš ir proporcionāls atvirzei no līdzsvara stāvokļa un vērsts uz šo līdzsvara punktu.

12. b) Darbojas ne tikai elastības spēks, bet arī berzes spēks, kurš pirmajā tuvinājumā ir proporcionāls kustības ātrumam. Atrisinājums lielas berzes gadījumā monotoni dilst, mazai berzei dilst oscilējot.

13. c) Uz atsperi darbojas arī ārējs spēks F(t) d) ...

14. Matemātiskais svārsts Ja diega garums ir l, lineārais ātrums l’, lineārais paātrinājums l“, pa pieskari vērstā gravitācijas spēka komponente -mg sin • ml“=– mg sin. • Mazās svārstības

15. Radioaktīvā sabrukšana Radioaktīvās vielas sabrukšanas ātrums ir proporcionāls vielas esošajam daudzumam m(0)=m0 Pussabrukšanas periods

16. Piemērs. Metodes lietojums. Radioaktīvā oglekļa C14 relatīvais daudzums katrā dzīvā organismā (arī augos) ir tāds pats kā apkārtējā gaisā. Kad organisms mirst, ogļskābās gāzes uzņemšana beidzas, turpinās tikai radioaktīvā sabrukšana. C14 pussabrukšanas periods ir Dzīvā organismā Geigera skaitītājs uzrāda 13.5 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas. Zinot Geigera skaitītāja rādījumu pētāmās vielas paraugā, var aprēķināt tās vecumu. Uzdevums. Noteikt Francijas aizvēsturisko alu gleznojumu vecumu, ja atrastajam organiskā materiāla paraugam Geigera skaitītājs uzrāda 1.69 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas.

17. Pieņemsim t=0 šobrīd, T<0 momentā, kad organiskais paraugs gāja bojā, q(t) oglekļa saturs paraugā momentā t. Atrisinot:

18. Tā kā sabrukšanas ātrumu raksturo Geigera skaitītāja rādījumi, var atrast: (gadi)

19. Bioloģijas piemēri. Baktēriju vairošanās. y’=y, y(0)=y0 Ja dzīves apstākļi baktērijām (vai citām būtnēm) ir ļoti labi, var gadīties: Šāds likums ātri noved pie katastrofas, joy(0)=y0

20. No otras puses vienādojums modelē divdzimumu populācijas vairošanos, jo vairošanās ātrums ir proporcionāls īpatņu kontaktu biežumam. Ņemot vērā, ka maziem y kvadrātiskā funkcija aug lēnāk kā y pirmā pakāpe, jāizdara secinājums: vienādojums var aprakstīt populācijas vairošanos, taču bioloģiski korekts tas ir tikai īsu laika sprīdi (kamēr y ir pietiekoši mazs)

21. Logistiskais likums Situācijā, kad apkārtējās vides resursi ir ierobežoti, notiek konkurence par tiem, populācijas augšanas ātrumu ierobežo savstarpējo kontaktu biežums, jo kontaktējoties sugas īpatņi viens otru var iznīcināt. populācija pieaug populācija samazinās

22. Ja populācijas īpatņi migrē prom no dotā areāla vai arī tiek rūpnieciski izmantoti ar konstantu ātrumu, pieaugšanas ātrums samazinās: Uzdevums. Uzzīmēt fāzu portretu un integrāllīnijas iegūtajam vienādojumam un noskaidrot, kāda pie fiksētiem k un b ir maksimāli pieļaujamā B vērtība.

24. Ja ievērojam, ka jebkuru dzīvu būtņu skaits ir diskrēts, uzskatām, ka to vairošanās ir sezonveida un ar yn apzīmējam būtņu skaitu n-tajā sezonā, dabūjam, t.s., diferenču vienādojumu yn+1=pyn, no kurienes, ja y(0)=y0, dabūjam . Tātad, ja proporcionalitātes koeficients p>1, tad , populācija pieaug, bet p<1, tā samazinās. Ja diskrētajā gadījumā ievērojam arī konkurenci, iegūstam logistiskā vienādojuma analogu yn+1=qyn(N-yn).

25. Šajās adresēs var apskatīties populāciju augšanas izklāstu http://www.sosmath.com/diffeq/first/application/population/population.html http://www.sosmath.com/diffeq/first/application/population/example2/example.html

26. Divu populāciju mijiedarbība Plēsoņu (y) - upuru (x) izturēšanās modelis • x’=ax-bxy • y’=-cy+kxy Zīmējumā sistēmas noteiktais vektoru lauks (x,y) plaknē un trajektorijas, ja a=b=c=1, k=2 Uzmanību: pievērst vērību vektoru vērsumiem!

27. Piemērs. Volterra – Lotkas sistēma. Eksperimentālie dati. Novērojumi veikti ilgstošā periodā. http://www.math.montana.edu/frankw//ccp/modeling/continuous/twovars/body.htm http://www.biology.ualberta.ca/courses.hp/bio331.hp/lectures/lect22/ PredatorPreyDynamics.htm

30. Dažādi uzdevumi a) Lančestera kauju dinamikas modelis. Divas armijas: ”sarkanie” ar kaujinieku skaitu x(t) momentā t un “zilie” ar kaujinieku skaitu y(t). Sākuma momentā x(0)=x0, y(0)=y0. Aplūkojam modeli karadarbības sākuma posmā: slimības vēl neplosās, kaujinieku skaits abās pusēs samazinās proporcionāli otras puses veiksmīgai darbībai. Koeficienti b1, b2 raksturo attiecīgo armiju kaujinieku darbības efektivitāti – šaušanas ātrumu, trāpījuma varbūtību. Papildspēki netiek pievesti.Uzvar tā armija, kurai izdodas otru pilnīgi iznīcināt.

31. Vienādojumu sistēma ir autonoma. Izdalot otro vienādojumu ar pirmo, iegūstam vienu vienādojumu, kura integrāllīnijas sakrīt ar sistēmas trajektorijām. Zīmējumā redzamas sistēmas trajektorijas, uzvarētāju pie fiksētiem b1, b2 nosaka sākuma vērtības. Kustības virziena norādīšanai pievienoti sistēmas noteiktie lauka vektori.

32. b) Zāļu uzņemšana cilvēka organismā. Ja cilvēka asinīs ir ievadīts medikaments (glikoze utml.), eksperimenta rezultāti liecina, ka tā uzsūkšanās ātrums ir proporcionāls esošajam daudzumam. Apzīmējot medikamenta saturu asinīs momentātary(t),iegūstam: kur y0 ir sākotnējais medikamenta daudzums. Atrisinājums liecina, ka vienreiz ievadītās zāles uzsūcas organismā un visai ātri to iedarbība kļūst nemanāma. Zāļu iedarbībai jābūt ilgstošai, zāles jāievada atkārtoti. Ja kādu laiku nepārtraukti organismā tiek ievadīti medikamenti ar konstantu ātrumu A(sistēma), iegūstam vienādojumu

33. kurš liecina, ka medikamenta saturs asinīs tiecas uz konstantu vērtību Situāciju, kad reāli cilvēkam pēc kāda laika medikamenta padevi pārtrauc, var aprakstīt, piemēram, ar vienādojumu, kura labā puse nav nepārtraukta:

34. Reāli, lai uzturētu medikamenta līmeni asinīs pietiekošā līmenī, ir nepieciešama atkārtota regulāra tā ievadīšana – vai nu atkārtota pacienta pieslēgšana pie sistēmas, vai arī vienkāršākā gadījumā regulāras injekcijas. • Uzdevumi: • Aprakstīt ar diferenciālvienādojumu regulāru medikamenta ievadīšanu organismā. Vienādojuma labās puses funkcija var nebūt nepārtraukta. • Izveidot modeli gadījumam, kad zāles tiek dzertas tabletēs, tātad vispirms nonāk gremošanas traktā, pēc tam tikai asinīs. Ievērot, ka zāļu uzsūkšanās ātrums gan asinīs, gan arī gremošanas traktā ir proporcionāls esošajam to daudzumam.

35. Šajās adresēs ir daudz relatīvi vienkāršu diferenciālvienādojumu lietojumu piemēru: http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffcalc/ http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/index.html Šie piemēri ir jau sarežģītāki: http://www.sci.wsu.edu/idea/current.html