Heimeoppgåve 1

1. Heimeoppgåve 1 Av dei 6 hjørnene i ein enkel samanhangande graf har 4 grad 3 og 2 grad 4 a) Kor mange kantar har ein slik graf b) Konstruer to ikkje-isomorfe grafar med desse eigenskapane c) Finn stiar av maksimal lengde i desse grafane Fasit 1 4 1 4 2 3 5 5 6 2 3 6

2. Setning: Dersom G er todelt har kvar krets jamn lengd x l(C) = 4 Setning: Ein enkel graf har n hjørner, m kantar og k komponentar n-k m (n-k)(n-k+1)/2 Eksempel: n=7, k=2 m = 5 m=15

3. Eulerske grafar 2 1 8 2 1 7 6 9 8 3 7 5 10 10 11 5 3 6 12 9 4 4 Semi-Eulersk graf Eulersk graf Ikkje-Eulersk graf

4. Setning (Euler): Ein samanhangande graf er Eulersk dersom og berre dersom kvar hjørne har jamn grad 3 8 6 1 7 4 2 5 Observasjonar: Kn er Eulersk dersom og berre dersom n er odde tal Wn er aldri Eulersk når n > 2 Kn,m er Eulersk dersom og berre dersom m og n er jamne tal Av dei platonske grafane er berre Oktaederet Eulersk (r = 4)

5. Bruene i Kønigsberg C D A B C D A B

6. Setning: Ein samanhangande graf er Eulersk dersom og berre dersom kantmengda kan splittast opp i kant-disjunkte kretsar Eksempel 11 2 10 1 6 7 12 3 13 8 15 5 9 14 4 NB: Merk at kretsane må ha felles hjørner for å få ein samanhangande graf

7. Fleury’s algoritme u 1 2 2 4 5 7 3 6 3 5 7 4 6

8. Hamiltonske grafar 1 1 4 2 2 3 3 Ikkje-Hamiltonsk graf Semi-Hamiltonsk graf Hamiltonsk graf Grafen er både Eulersk og Hamiltonsk

9. Observasjonar I ein Eulersk graf kan vi gå innom kvart hjørne fleire gonger, medan vi i ein Hamiltonsk graf er innom kvart hjørne ein og berre ein gong. Om vi i ein Hamiltonsk graf legg inn fleire kantar blir den nye grafen også Hamiltonsk. Om vi i ein Eulersk graf legg inn ein krets som er kantdisjunkt med den grafen vi starta med, blir den nye grafen også Eulersk.

10. Heimeoppgåve 2 Eksamen 8. des. 1989, Oppg. 1 Eksamen 19. mai 1993, Oppg 2 Eksamen 16. mai 1994, Oppg. 1