§1 不定积分的概念与性质

上一页 下一页 §1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质

1 1 ¢ , . = x ( x ) 因为所以是的原函数 2 x 2 x 上一页下一页一、原函数与不定积分的概念 • 定义1设函数f 与F 在区间I上有定义，若则称F为f 在区间I上的一个原函数 • 原函数举例因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数. • 提问： • （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？

上一页 下一页 ( 2 )如果f (x)有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？ • 几点说明： 1°原函数存在定理：连续函数一定有原函数. 2°若F'(x) = f (x)，则对任意常数C， F(x)+C都是 f (x)的原函数. 如(sin x)cos x , 则 (sin x+C)cos x . 所以原函数的个数有无穷多个. 3°设G(x) 、F(x)是 f (x)的任意两个原函数. 则 G(x) － F(x) = C ( C为常数) 即任意两个原函数之间相差一个常数证明：(G(x) － F(x)) ′= G‘(x) －F’(x) = f (x) － f (x) = 0 所以 G(x) － F(x) = C ( C为常数)

上一页 下一页 • 定义2f (x)在区间I上全体原函数成为 f 在 I上的不定积分. 记作其中f (x)叫被积函数，f (x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号 “  ” 叫做积分号. 根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f (x)的不定积分,即 • 结论：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C.

上一页 下一页如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则例1求解：

上一页 下一页如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则例2 解：合并得：

2x的积分曲线 上一页下一页 • 不定积分的几何意义若F(x)是f (x)的一个原函数，则称F(x)的图形为f (x)的一条积分曲线， F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的）所得积分曲线组成的曲线轴. 如图f (x)=2x的积分曲线图结论：函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族

1° 2° 上一页下一页三、不定积分的性质 • 性质1 • 性质2 ( k为常数 k≠0） • 性质3 证明：由导数的线性运算法则和不定积分的定义

上一页 下一页所以，有：将性质2、性质3合并可得不定积分线性性质求例5 解

上一页 下一页求例6 解求例7 解

上一页 下一页求不定积分例8 解注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算.

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