重點一、拋物線

1. 重點一、拋物線 P 1. 拋物線的定義： 在一平面上，到定直線 L (準線)的距離 焦點F 等於到定點 F (焦點)距離 的動點 P 所成的圖形稱為拋物線。 準線 L (1) P (2) 2k k 軸 (3) 頂點A是拋物線上 A 焦點 F 與焦點 F距離最近的點。 本段結束

2. 2. 拋物線的方程式： (1)左右開口型： 證明  c > 0 (開口向右)；c < 0 (開口向左)。 L：x=c  P(x,y) 2k 證明 k x O F(c,0) 2k  若頂點為 (h , k)， c > 0 則拋物線方程式為 (y  k)2 = 4c(x  h)。 To be continued  (2) 上下開口型

3. (2)上下開口型：  y c > 0 (開口向上)；c < 0 (開口向下)。  c > 0 P(x,y) F(0,c) 2k 2k k  若頂點為 (h , k)， O L：y= c 則拋物線方程式為 (x  h)2 = 4c(y  k)。 本段結束

4. 3. 範例：已知坐標平面上圓 O1：(x7)2 + (y1)2 = 144 與 O2：(x+2)2 + (y13)2 = 9 相切，且此兩圓均與 直線 L：x = 5 相切。若  為以 L 為準線的拋物線， 且同時通過 O1與 O2的圓心，求  的焦點坐標。 <97學測> y L：x = 5 解： 兩圓外切。 O2(2, 13) 設拋物線焦點 F， 3 3 ∵ 拋物線通過 O1與 O2且準線 L：x = 5 F 12 ∵ 3 + 12 = 15 12 O1(7, 1) x 故焦點 F恰為兩圓的切點 O ＃

5. 所代表的錐線 4. 範例：關於方程式 圖形，下列何者為真? (1) 為拋物線(2)(1, 2)為 的焦點 (3)3x y  19  0 為 的漸近線 (4) x  3y  7  0 為 的對稱軸 (5)(3, 1) 為的頂點 <86學測> 解：令 P (x, y)，直線 L：3x y  19  0，F(1, 2)， 準線：3x+y19=0 P(x, y) M (5, 4) V 即 是以 L為準線，F為焦點之拋物線， F(1, 2) 又對稱軸為 x  3y  7  0， 軸：x3y+7=0 交點 M (5, 4)， 故選 (1) (4)。 ＃

6. 直線 L：y = 5 與拋物線 5. 範例： 坐標平面上給定點 ：x2=8y。 以 d(P, L) 表示點 P 到直線 L 的距離。 若點 P 在 上變動， < 99學測 > y 解：x2 = 8y的焦點 F(0, 2)， x2 = 8y P(x, y) 準線 y = 2，設動點 P(x, y)， y + 2 F P A y = 2 3 L：y = 5 當 F、A、P三點共線時， ＃

7. 6. 範例：已知坐標平面上一拋物線 C之對稱軸與坐標軸平行， 且 C 通過 (1, 6) 與 (3, 6) 兩點，試問下列哪些敘述是正確的? (1) C 與 x 軸必相交； (2) C 與 y 軸必相交； (3) 如果 C 通過 (2, 5)，則可找到實數 r  2 而 C 也通過 (r, 5) ； (4) 如果 C 通過 (4, 8)，則可找到實數 s  8 而C也通過 (4, s) ； (5) 如果 C 通過 (0,3)，則 C 的頂點之 y 坐標為 2。 <92學測補考> 解：軸為 x1=0，設頂點(1, k)，焦點(1, k+c)， 且C：(x1)2 = 4c(yk)… x才有實數解。 則須 4ck > 0， (1) y = 0代入得 (x1)2 = 4c(k)， x = 4 x = 1 (2) x = 0代入得 (01)2 = 4c(yk) (3) C 為上下開口， 若 C過 (2, 5)， (1, k) 開口向上 且 (2, 5)非頂點 (1, k)， 則 C與 y = 5有兩交點。 (1, k+c) (3, 6) (1, 6) (4) C為上下開口，與 x = 4只有一交點。 (2, 5) (0, 3) (r, 5) (5) 過 (3, 6)，代入得 4 = 4c(6k)… ， (1, k) 若 過 (0, 3)，代入得 1 = 4c(3k)…， 開口向上 故選(2)(3)(5)。 頂點 (1, 2)。 ＃ k = 2， 解  聯立

8. 重點二、橢圓 1. 橢圓的定義： 在一平面上，到兩定點 F1與 F2(焦點)的距離和為定數2a， P 的動點P所形成的圖形稱為橢圓。 2c (1) F1 F2 (2) C P (3) 頂點A是橢圓上 a b 與焦點 F1距離最近的點。 A B c O F1 F2 本段結束 D

9. 2. 橢圓的方程式： (1) 橫躺型：  y 證明  證明 P b a a  若中心為 (h , k)， x O F2 F1 b (2) 直立型： y  F1  a P b b  若中心為 (h , k)， x O a F2 本段結束

10. 3. 範例：坐標平面上，設 A 是 x 軸上的動點，B 是 y 軸上的動點， 求所有動點 P 所成圖形之方程式。 解：設 A(x, 0)，B(0, y)，P(u, v)， B(0, y) 3 y 2 P(u,v) A(x, 0) B P A x O ＃

11. 4. 範例： E2：焦點在 (3, 0) 且準線為 x = 3 的拋物線。 的橢圓； 已知 E1，E2的交點在直線 x = 3 上，求 a 之值。 < 100學測 > L：x = 3 解：拋物線頂點為 O(0, 0)， P(3,6) 拋物線焦點為 F(3, 0)， 6 則正焦弦端點為 P(3, 6)與 Q(3, 6)， 3 3 x O F(3,0) F(3,0) 如圖，橢圓與拋物線交點在直線x = 3上， Q(3,6) 即交點為 P(3, 6)與 Q(3, 6)。 ＃ x = 3 ( ∵ P(3, 6) 在橢圓上 )

12. 5. 範例：坐標平面上有一個橢圓，已知在 (8 , 4)，(9 , 11)，(15 , 5) 和 (16 , 12) 這四個點中，有兩個是焦點，另外兩個是頂點， 求此橢圓的半長軸長度。 <92數甲> 解：由圖知 A，C的中點及 B，D的中點M(12 , 8)為橢圓的中心。 長軸上的頂點必與焦點共線， D(16,12) A(9,11) 所以題目中的頂點必為短軸上的頂點。 M(12,8) C(15,5) B(8,4) A(9,11) D(16,12) M(12,8) C(15,5) B(8,4) ＃

13. 其中 a、b 為正數， 6. 範例： 若 P 為第一象限的橢圓弦上之一點，求 ABP 的最大面積。 設 P(x, y)，且 A(a, 0)、B(0, b)， 解： y P A x O B <88數甲> ＃

14. 重點三、雙曲線 1. 雙曲線的定義： 在一平面上，到兩定點 F1與 F2(焦點)的距離差為定數 2a， P 的動點P所形成的圖形稱為雙曲線。 F2 F1 2c (1) (2) P (3) 頂點A是雙曲線上 C c b 與焦點 F1距離最近的點。 a A O B F2 F1 c 本段結束 D

15. 2. 雙曲線的方程式： (1) 左右開口型：   a2 + b2 = c2， y 證明 證明 C P c  若中心為 (h , k)， b x a a O F2 F1 則雙曲線的方程式為 b D To be continued  (2) 上下開口型

16. (2) 上下開口型：   a2 + b2 = c2， y P F1(0, c) c  若中心為 (h , k)， a b b D C x O 則雙曲線的方程式為 a F2(0, c) 本段結束

17. 3. 雙曲線的漸近線： y L1：bx  ay = 0 L2：bx + ay = 0 b a a x b 證明 注意： 本段結束

18. 4. 共軛雙曲線： 稱為共軛雙曲線。 y bx+ay=0 bxay=0 2 b a a x b 1 (3) 共軛雙曲線有相同的漸近線。 本段結束

19. 5. 範例： 若 F1，F2為此雙曲線的兩個焦點， 已知 PF1F2的周長為 18， 解： P 4 + k 8 k = 4 + k， 4 x 6 F1 又 PF1F2的周長為 18， F2 k + ( 4 + k) + 6 = 18 k = 4。 = 32。 ＃

20. 6. 範例： 設 d 為一實數，令  表示 又令 C 為平面上 以 F1 為圓心、6 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的? (1) 當 d = 0 時，為直線 (2) 當 d = 1 時，為雙曲線 < 101學測 > (3) 當 d = 2 時， 與圓 C 交於兩點 (4) 當 d = 4 時， 與圓 C 交於四點 (5) 當 d = 8 時，不存在 設動點 P(x, y)， 解：  當 d = 0，點 P(x, y)到 P(x,y) P(x,y) F1(2, 0)、F2(2, 0)等距離， 4 F2 F1 當 0 < d < 4，點 P滿足  圖形為雙曲線， 與圓 C交於四點。 d=1 d=0 d=2 d=3 To be continued  d = 4，d < 0，d > 4

21. 圓C：F1 為圓心、半徑為 6 。 (1) 當 d = 0 時，為直線 (2) 當 d = 1 時，為雙曲線 (3) 當 d = 2 時， 與圓 C 交於兩點 < 101學測 > (4) 當 d = 4 時， 與圓 C 交於四點 (5) 當 d = 8 時，不存在 設動點 P(x, y)， 解：  當 d = 0，圖形為中垂線 P(x,y) 當 0 < d < 4，圖形為雙曲線。 P(x,y)  當 d = 4， P(x,y) 4 但在 F1(2, 0)、F2(2, 0)連線上， F2 F1 d = 4 圖形為兩射線，與圓 C交於二點。  當 d < 0或 d > 4， d = 1 點 P(x, y)不存在  無圖形。 d = 0 d = 2 d = 3 ＃ 故選 (1) (2) (5)。

22. 7. 範例：一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1、F2，且雙曲線的 貫軸長和橢圓的短軸長相等。設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點， < 98學測 > 解： P a b c F2 F2 F1 F1 2b 總複習 第十四單元 結束  得 ＃

23. 水平軸的拋物線： 坐標平面上，一拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x 軸， (標準式) 焦點為 F(c, 0)且c  0，則拋物線的方程式 y2 = 4cx。 y 證明：設 P(x, y) 為拋物線上任意點， L：x= c P(x, y) x O F(c,0) c > 0 整理可得 y2 = 4cx。 L：x= c y 反之，當點 P(x, y)滿足方程式 y2 = 4cx， P(x, y) x O F(c,0) c < 0 回 題 目 所以此拋物線的方程式為 y2 = 4cx。 ＃

24. 拋物線的正焦弦：拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍。 證明：由拋物線的定義可知： L 因此四邊形 BMHF B M 與 FHNC 均為正方形， 2k A H k F N C ＃ 注意： 回 題 目

25. 橫躺型的橢圓：坐標平面上，以 F1(c, 0)與 F2(c, 0)為焦點， 長軸長為 2a，短軸長為 2b， y 證明：設 P(x, y)是橢圓上的任意一點， P(x, y) x O F1(c, 0) F2(c, 0) 回 題 目 y b a a x O b To be continued ：反之

26. P(x, y) F2(c, 0) F1(c, 0) 回 題 目 = 2a。 ＃ 即 P點在以 F1(c, 0)與 F2(c, 0)為焦點，長軸長為 2a的橢圓上。

27. 橢圓的正焦弦長為 P 證明： 2ak k O 2c F1 F2 Q ＃ 回 題 目

28. 左右開口型雙曲線： 坐標平面上，以 F1(c, 0)與 F2(c,0)為焦點， 貫軸長為 2a，共軛軸長為 2b， y 證明：設 P(x, y)是雙曲線上的任意一點， P(x, y) x O F2(c, 0) F1(c, 0) 回 題 目 To be continued  第二次平方化簡

29. c b a a O F2 F1 b To be continued ：反之 回 題 目

30. 回 題 目 y P(x, y) x O F2(c, 0) F1(c, 0) To be continued

31. y P(x, y) x a a O F2(c, 0) F1(c, 0) 回 題 目 即 P點在以 F1(c, 0)與 F2(c, 0)為焦點，貫軸長為 2a的雙曲線上。 ＃

32. 雙曲線的正焦弦長為 證明： P 2a+k k 2c F1 F2 O Q ＃ 回 題 目

33. 1. 雙曲線的漸近線： 證明： y L1：bxay=0 L2：bx+ay=0 P(x0, y0) b a a x 當 P在第一、三象限沿著雙曲線逐漸遠離原點， b 回 題 目 To be continued  P 在第 二、四 象限

34. 當 P在第二、四象限沿著雙曲線逐漸遠離原點， y L1：bxay=0 L2：bx+ay=0 P(x0, y0) b a a x b 回 題 目 注意： ＃

36. 結 束 離 開 23 ＃ 總複習 第九章 結束 本段結束 Let’s do an exercise ! To be continued  注 意 To be continued  範 例