Графын тухай Graph theory

1. Графын тухайGraph theory Лекц №12

2. Граф • Хэрхэн холбогдож байгааг нь л голлон анхаарч бий болгосон, цэг ба тэдгээрийг холбох шугамуудаас бүтэх хийсвэр дүрсийг граф гэх ба графын шинж чанарыг графын онолд судалдаг.

3. Графын онолын үндэс

4. Графын онолын үндэс

5. Biochemical Networks

6. Графын онолын үндэс Граф (сүлжээ) гэдэг нь (vertice буюу) нумуудаар (ирмэгүүд буюу хөлнүүдээр) холбогдсон оройнуудын (буюу зангилаа -node) цуглуулга. Зангилаанууд нь цэг (blob) болон тойргоор, Ирмэгүүд нь шулуун болон муруй шугамуудаар дүрслэгддэг.

7. Граф • Галт тэрэг ашиглан нэг өртөөнөөс нөгөөд очиход уг 2 өртөө нь төмөр замаар холбогдсон эсэхийг мэдэх хэрэгтэй болохоос төмөр замын сүлжээ нь ямар хэлбэр дүрс үүсгэж байгаа нь чухал биш байх нь олонтаа. • Тийм ч учраас улс орнуудын төмөр замын сүлжээний зурагт өртөө хоорондын зай, өртөөнүүдийн байршил, зам зэргийг жинхэнээс нь ялгаатай дүрсэлсэн байх нь элбэг.

8. Граф • Өөрөөр хэлбэл төмөр замын сүлжээг граф ашиглан дүрсэлж болно. • Ийм графд өртөөнүүдийг орой байдлаар тэдгээрийн хоорондын замуудыг тал болгон дүрсэлдэг.

9. Чиглэлт граф • Хэрэв төмөр замын холбогдсон зам нь ганцхан чиглэлтэй бол нэг өртөөнөөс нөгөөд очиж болдог байхад буцаж очих боломжгүй байж болно. Ийнхүү төмөр замд чиглэл гэсэн ойлголт нэмж болно. Үүнтэй адилаар графын онолд талд чиглэл оноож болдог. Ийм графыг чиглэлт граф гэнэ. Эсрэгээр, талууд нь чиглэлгүй бол чиглэлгүй граф гэж нэрлэнэ.

10. Графын онолын үндэс Ойлголтууд Зангилаа Node, Vertice Нум Arc, Edge, Leg Гогцоо буюу цикл Loop, Cycle Графыг хоолойнуудаар урсах тос, замын урсгал, усан тээврийн нягтрал, газар доорх усны хөдөлгөөн, биохимийн холбоос, газар доорх сүлжээ зэргийг дүрслэхэд ашигладаг.

11. Графын онолын үндэс Simple graph буюу энгийн графнь гогцоо (loop) буюу хос зангилааны хооронд хэд хэдэн нум байдаггүй.

12. Графын онолын үндэс complete graph буюу гүйцэт графгэдэг нь зангилаа бүр нь бусад зангилаа тус бүртэйгээ холбогдсон граф юм. n зангилаатай бүтэн буюу бүрэн графын тэмдэглэгээ нь: Kn K4

13. Графын онолын үндэс Subgraph буюу дэд граф нь бусад графаас ирмэгүүд буюу зангилаануудыг салгаснаар (устгаснаар) үүснэ. Subgraph Graph

14. Графын онолын үндэс bipartite graph(2 талтай буюу хэсэгтэй граф) гэдэг нь 2 хэсэг (буюу цогц) зангилаануудаас бүтдэг. Тухайн цуглуулга буюу хэсэг тус бүрт байгаа зангилаануудын өөр хооронд нь холболт байдаггүй.

15. Графын онолын үндэс complete bipartite graph(бүрэн 2 талт граф) гэдэг нь зангилааны нэг цуглуулгад байгаа зангилаа бүр нь нөгөө хэсгийнхээ зангилаа тус бүртэй холбогдсон граф юм.

16. Графын онолын үндэс B C A D F Зангилааны зэрэг (дэс дараа) буюу orderгэдэг нь тухайн зангилаанд ирсэн нумуудын тоо. Дэд графт харуулсанаар A ба F нь 2 зэрэгтэй, B ба C нь 3-н зэрэгтэй D-ын order4 байна. A, D, F нь тэгш зэрэгтэй. B ба C ньсондгой зэрэгтэй байна. Бүх зангилааны зэрүүдийн нийлбэр буюу Нийт order-ыг олоход нум бүр нь 2 удаа нэмэгддэг тул энэ нийлбэр ямагт тэгш гарна.

17. Графын онолын үндэс B connected graph буюу холбогдсон граф гэдэг нь ямар ч 2 зангилааны хооронд зам олддог граф юм. C A D X F Y Z

18. Граф гэдэг нь: • graph G = (V,E) Бүрдүүлдэг зүйлс нь: V: vertice-уудын олонлог E: V дэх оройнуудыг холбох ирмэгүүд • Ирмэг e = (u,v) гэдэг нь хоёр орой • Жишээ: a b V= {a,b,c,d,e} E= {(a,b),(a,c),(a,d), (b,e),(c,d),(c,e), (d,e)} c e d

19. Хэрэглээ JFK LAX LAX STL HNL DFW • Электрон хэлхээнүүд • Сүлжээнүүд (Замын, нисэхийн, харилцаа холбооны) CS16 FTL

20. Нэр томьёо: Adjacent ба Incidentхөрш ба тал (зам) • Хэрэв (v0, v1) нь чиглэлт бус графын ирмэг бол • v0ба v1–үүд нь хөрш • Ирмэг (v0, v1) нь v0ба v1оройнууд дээрх тал • Хэрэв <v0, v1> нь чиглэлт графын орой бол • v0ньv1рүүчиглэсэн хөрш, v1нь v0–аас гарсан хөрш • Ирмэг <v0, v1> нь v0ба v1 –ыг холбох зам юм

21. Нэр томьёо degree of a vertex буюу Оройнуудын зэрэг • Орой руу ирсэн холбогч замуудын тоог оройны зэрэг гэнэ. • Чиглэлт графын хувьд: • in-degreeгэдэг нь vоройн хувьд түүнийг толгой болгож буй буюу түүн дээр ирээд дуусч буй талуудын тоо • out-degreeгэдэг нь тухайн оройг сүүлээ болгож буй буюу түүнээс эхэлж буй талуудын тоо • Хэрэв diнь iоройн зэрэг бол nоройтой G гэсэн графын ирмэгүүдийн тоо буюу eнь: Хөрш орой бүр нь хоорондын ирмэгээ тоолж буй тул ирмэгийн тоо 2 дахин их гарч байгаа учир 2-т хуваана.

22. Жишээ: 0 3 2 1 2 0 3 3 1 2 3 3 6 5 4 3 1 G1 1 1 3 G2 1 3 0 in:1, out: 1 Чиглэлт граф: in in-degree out out-degree in: 1, out: 2 1 in: 1, out: 0 2 G3

23. Нэр томьёо:Path буюу зам • path: дараалсан viба vi+1 оройнууд нь хөрш байх v1,v2,. . .vkоройнуудын дараалал. 3 2 3 3 3 a a b b c c e d e d a b e d c b e d c

24. Нэр томьёо • Энгийн зам буюу simple path: Давтагдсан орой байхгүй • Цикл буюу cycle: сүүлийн орой нь эхнийхтэйгээ ижил байгааг тооцохгүй бол энгийн зам a b b e c c e d

25. Нэр томьёо • connected graph: Дурын 2 орой нь ямар нэгэн замаар холбогдсон граф • subgraph: Оройнууд болон ирмэгүүдийн граф хэлбэр бүхий дэд хэсэг • connected component: Хамгийн их холбогдсон дэд граф. Жишээ нь Доорх граф нь 3-н холбоост хэсэгтэй байна. connected not connected

26. Дэд графын жишээ 0 1 2 0 0 3 1 2 1 2 3 0 0 0 0 1 1 1 2 2 0 1 2 3 G1 (i) (ii) (iii) (iv) (a) G1-ын дэд графуудаас 0 1 2 (i) (ii) (iii) (iv) (b) G3-ын дэд графуудаас G3

27. Граф • tree – Циклгүйгээр холбогдсон граф • forest – Моднуудын цуглуулга

28. Холболт • n= Оройнуудын тоо, m = Ирмэгүүдийн тоо бол • complete graph буюу Гүйцэт граф: Оройн хос бүр нь хөрш байдаг граф • Бүтэн графын ирмэгийн нийт тоо. • n орой тус бүр нь n-1ирмэгтэй. Гэвч ирмэг бүр 2 удаа тоологдоно. Тиймээс m = n(n -1)/2. • Харин граф бүтэн биш бол m < n(n -1)/2

29. Холболт n = Оройн тоо m = Ирмэгийн тоо • Модны хувьдm = n - 1 Хэрэвm < n – 1 бол G нь холбогдсон биш

30. Oriented (Directed) буюу чиглэлт Graph • Ирмэгүүд нь чиглэлтэй граф

31. Даалгавар • Дараах ойлголтуудыг уншиж судлаад бичиж ирнэ үү. • Графын тухай үндсэн ойлголтууд • Графын төрлүүд • Графын хэрэглээ • Графыг дүрслэх буюу үүсгэх • Граф ашигладаг алдартай алгоритмуудаас • Лекц №12 Даалгавар гэсэн файлыг уншаад тайлан бичиж авч ир