Теорема Виета

1. Теорема Виета Автор :Бондарь Дмитрий 8 “А” класс Школа №1

2. Франсуа Виет Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату — Шарант. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году. Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел (1584—1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры. При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646) Ф. Схоутеном.

3. Теорема Виета Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q. Доказательство теоремы: Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения: x1 + x2 = –p x1x2 = q Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0 Вычтем эти равенства друг из друга. Получим x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть: (x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2) Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ¹  0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы: x1 + x2 = –p Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0 Преобразуя левую часть, получаем: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1x2 = q, что и требовалось доказать.

4. Теорема Виета Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1. Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 ×  3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями. Эту догадку можно аккуратно доказать.

5. Источники информации Теорема Виета: http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/06/main_1.htm Франсуа Виет Wiki : ://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0Google картинки:http://www.google.ru/images Спасибо за внимание !!!