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截长补短

截长补短. 例 1 、如图，△ ABC 中， AD⊥BC 于 D ，∠ B=2∠C ，求证： DC=AB+BD. 方法 1 ：（截长法） 在 BC 上截取 DE=DB, 连结 AE. 方法 2 ：（补短法） 延长 CB 至 F ，使 BF=BA ，连结 FA. 例 2 、在 ΔABE 中， C 、 D 分别为 AB 、 BE 上的点，且 AD=AE,ΔBCD 为等边三角形， 求证 :BC+DE=AC. 方法 1 、作 AF∥DC 交 BD 延长线于 F. 方法 2 、作 EF∥DC 交 AB 于 F ，

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截长补短

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  1. 截长补短

  2. 例1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：DC=AB+BD.例1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：DC=AB+BD.

  3. 方法1：（截长法） 在BC上截取DE=DB,连结AE

  4. 方法2：（补短法） 延长CB至F，使BF=BA，连结FA

  5. 例2、在ΔABE中，C、D分别为AB、 BE 上的点，且AD=AE,ΔBCD为等边三角形， 求证:BC+DE=AC.

  6. 方法1、作AF∥DC交BD延长线于F

  7. 方法2、作EF∥DC交AB于F， 可证△BEF为等边三角形，

  8. 方法3、作AF∥BE交DC延长线于F 可证△AFC为等边三角形，

  9. 例3、如图，在△ABC中，D为AC上一点， M为优弧AB的中点.MD⊥AC于D， 求证：AD=DC+CB.

  10. 方法1、在AD上截取AN=CB，

  11. 方法2、在AD上截取DN=DC,

  12. 方法3、延长BC至F，使CF=DC，

  13. 方法4、延长AC至E，使CE=CB， 或作AD=DE

  14. 此题有三个论断： （1）M为优弧AB的中点， （2）MD⊥AC， （3）AD=DC+CB. 可“知二得三”. 由“一题多解”，“一题多变”，我们可以看到此题是提升分析问题、解决问题能力的一个典型例题.

  15. 变式1 如图，在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB，过点D作AC的垂线交外接圆于点M，求证：M为优弧AB的中点.

  16. 延长AC至E，使得CE=CB， 连接MA、MB、ME、BE

  17. 变式2 如图，在△ABC中，D为AC上一点， AD=DC+CB，M为优弧AB的中点. 求证：MD⊥AC

  18. 在AD上截取AN=CB

  19. 北京市西城区2009年抽样测试 如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC 的 外接圆，D为BC上一点， CE⊥AD于E. 求证：AE= BD +DE．

  20. 在AE上截取AF=BD，连结CF、CD

  21. 例4、 如图，⊙O的半径r=10cm,G是直径AB上一点，弦CD经过G点，CD=16cm，过点A、B分别向弦CD引垂线AE、BF，E、F为垂足，求:AE－BF的值.

  22. 在AE上截取EN=BF，连接BN交CD于M， 连接OM

  23. 例5、如图，在等边ΔABC的外接圆的弧BC上任取一点P 求证：PA=PB+PC

  24. 方法1：(截长法) 在AP上截取AD=PC, 连接BD,则∠1=∠2,AB=CB

  25. 方法2：(截长法) 在PA上截取PD=PC, 连接DC,则∠1=∠2=60°

  26. 方法3：(补短法)延长CP至D,使PD=PB, 连结BD

  27. 方法4：(补短法) 延长PC至D,使CD=BP,连结AD,则∠1=∠ABP, ΔACD≌ΔABP

  28. 例6、（宣武2009） （1）如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PA=PB+PC； （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BC上一动点， 求证： （3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明.

  29. 证明：延长BP至E，使PE=PC， 连接CE，

  30. （2）证明：作BE⊥PB交PA于E，

  31. 证明：在AP上截取AQ=PC，连接BQ，

  32. 例7、如图，在△ABC中，AB>AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，例7、如图，在△ABC中，AB>AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F， 求证：AB-AC=2AF.

  33. 在AB上取点D，使FD=AF，连接ED并延长交圆于点G，连接BG、CG，

  34. 例8、如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AC=BC,D为⊙O中AB弧上一点，延长DA至点E，使CE=CD例8、如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AC=BC,D为⊙O中AB弧上一点，延长DA至点E，使CE=CD （1）求证：AE=BD （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= CD

  35. 谢谢！

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