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Understanding Graph Theory Concepts through Examples

Learn about Euler graphs, super Euler graphs, and dominating sets in graphs. Use handshaking lemma to show odd total number of dominating sets in any graph. Includes hints and explanations.

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Understanding Graph Theory Concepts through Examples

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Presentation Transcript

  1. 5月24日の提出課題1 全ての頂点の次数が偶数である連結グラフをオイラーグラフといい， オイラーグラフを全域部分グラフとして持つグラフを超オイラーグラフという． 次の完全2部グラフの中から超オイラーグラフであるものをすべて選び，選んだグラフが全域部分グラフとして持つオイラーグラフをそれぞれ描け． K2,3K2,4K2,5K3,3K3,4K3,5

  2. 5月24日の提出課題2 グラフGとその頂点部分集合A⊆V(G)に対して， ∀u∊V(G)-A, ∃v∊A; uv∊E(G) となるとき，AはGの支配集合であるという． 提出課題： 任意のグラフGに対して， Gの支配集合の総数が奇数であることを 次のヒントを参考にして握手補題を用いて示せ．

  3. 5月24日の提出課題2のヒント ヒント： グラフGに対して， グラフHGを次のように定義する． V(HG)={B⊆V(G)："B≠∅"かつ"BはGの支配集合ではない"} E(HG)={B1B2："B1, B2∊V(HG)"かつ"B1∩B2= ∅"かつ"∀u∊B1,∀v∊B2 ; uv∉E(G)"}

  4. 5月24日の提出課題2のヒント ヒント： • P(V(G))-{ ∅ }の位数は奇数 （P(V(G))：V(G)の冪集合） • P(V(G))-{ ∅ }-V(HG)={B⊆V(G)：BはGの支配集合} ①，②より， |V(HG)|が偶数であることを示せばよいことが分かる． • B∊V(HG)に対して，Bの次数を考える．VB={ v∊V(G)-B : ∀u∊Bに対してuv∉E(G) }とすると，VB≠∅でdHG(B) = 2|VB| – 1となるのでBの次数が奇数であることが分かる．

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