MATEMATIZZAZIONE

1. MATEMATIZZAZIONE Con il termine “Matematizzazione” intendiamo quel processo attraverso il quale si tenta di “tradurre” nel formalismo matematicoun problema espresso nel linguaggio comune, generando un “modello matematico”.

2. Attenzione • Non è detto che un problema, espresso nel linguaggio comune, possa essere sempre espresso nel linguaggio matematico; • - Non è detto che il modello matematico sia unico; • - Non è detto che il modello “funzioni” (con tutte le ambiguità ed imprecisioni che tale locuzione porta con sé).

3. Alcuni Punti Nodali • Formulazione chiara e precisa, già nel linguaggio comune, di tutti i termini del problema; • Idea di un possibile obiettivo (= soluzione accettabile, prevedibile ,…); • Riconoscimento, anche solo parziale, di quelli che potrebbero essere i “costituenti” essenziali del problema, anche in funzione dell’obiettivo atteso; • Analisi di alcune situazioni ideali/limite; • Riconoscimento dei concetti matematici che possono tradurre i “costituenti” individuati;

4. Formalizzazione del Modello Matematico; • Studio del Modello: • Qualità matematiche “a priori” della soluzione; • Esistenza di soluzioni; • Unicità della soluzione • Rappresentazione della/e soluzioni • Approssimazione della/e soluzioni • Dipendenza dai dati • Verifica delle soluzioni matematiche in termini di “predicibilità” .

5. Un esempio interno alla Matematica La riduzione a problemi di Algebra e di Analisi di molti problemi di Geometria. In questi problemi si osserva anche una peculiarità della modellizzazione: La riduzione matematica, pur motivata da una situazione concreta e ben precisa, permette poi di estendere le informazioni ottenute ad una ampia classe di problemi che, a prima vista, potevano sembrare lontani da quello originario

6. Pregio dellla MATEMATIZZAZIONE Il Problema concreto da cui si è partiti diviene uno dei tanti ai quali si può dare una qualche risposta studiando il modello. Spesso la modellizzazione rivela delle “vicinanze” insospettate tra problemi concreti riferibili a contesti umani lontanissimi tra di loro; la concretezza dei contesti, con la loro ricchezza di informazioni, non permette, generalmente, di osservare, utilizzando il solo linguaggio comune, la “vicinanza” dei problemi.

7. Analisi di un esempio Esercizio concreto di Geometria Controllo Modello Algebrico-Analitico concreto Passaggio ad esercizio con parametri Classi di esercizi Controlli Modello parametrico

8. ALCUNE OSSERVAZIONI SUI MODELLI • ACQUISIRE UNO, O PIU’, DEI POSSIBILI SIGNIFICATI CONCRETI DEL MODELLO, PRIVILEGIANDO, SE POSSIBILE, UN PROBLEMA • ANALIZZARE I PARAMETRI CONTENUTI NEL MODELLO, COMPRENDERNE IL SIGNIFICATO E STUDIARE IL COMPORTAMENTO DEL MODELLO PER VALORI SIGNIFICATIVI DEI PARAMETRI SUL PROBLEMA GUIDA • CONFRONTARE IL MODELLO CON ALTRI CHE INTERESSANO IL PROBLEMA ED INDAGARE LE ANALOGIE CON ALTRI MODELLI MATEMATICI.

9. ESERCIZIO 1 • Se 2x+1=8 quanto vale 4x+1 ? • Risoluzione: x = 7/2 allora … Ma si può procedere anche così: 2x + 1 = 8  2(2x+1) = 16  4x+ 2 =16  4x+1 = 15

10. ESERCIZIO 2 Sia dato il triangolo rettangolo in figura; supponendo che AB = 12, CB = 5 e che inoltre AN = AB e CM = CB, determinare MN . A Basta osservare che posto x = MN si ha: 12 + 5 –x = (AC =) 13 12 M N C B 5

11. ESERCIZIO 3 Quali termini togliere dalla somma seguente affinché la somma dei restanti sia 1 ? Risposta: Consideriamo il mcm; esso è 120; riscriviamo la somma riducendo tutti gli addendi allo stesso denominatore; si ottiene che la precedente somma si può scrivere così:

12. ESERCIZIO 4 Siano a, b, c, d numeri reali diversi da zero e siano x,y per cui: ax+b=0 e cy+d=0. Allora dire x<y equivale a dire: • bc < ad • ad < bc • ac < bd • c/a < d/b • d/c < b/a La risposta esatta è la n. 5. L’errore che spesso si commette, in situazioni di questo genere, è quello di ritenere che i coefficienti siano di segno assegnato.

13. ESERCIZIO 5 Prendiamo i numeri dispari e disponiamoli in cinque colonne come segue: 1 3 5 7 • 13 11 9 17 19 21 23 • 29 27 25 33 35 37 39 …. In quale delle colonne comparirà il numero 1985 ( 2003 ) ?

14. Osservazione importante. Considerando le cinque colonne si nota questo fatto: le prime due righe hanno la caratteristica di essere base per le successive modulo 16; cioè un numero sta in una colonna se il resto della divisione per 16 sta nella colonna. Pertanto la risposta è …

15. ESERCIZIO 6 Consideriamo il seguente schema formato da quadrati unitari: Quanto è l’area del poligono ? Famosa Formula: A = Numero punti interni -1 + ½ Numero dei punti sul bordo

16. ESERCIZIO 7 Sei sacchetti di palline di cui uno solo di palline rosse; gli altri contengono palline di altro colore; Gianna sceglie tre sacchetti e Gianni due; rimane il sacchetto delle palline rosse. Contando le palline, Gianna ha il doppio delle palline di Gianni. Sapendo che i sei sacchetti contenevano 18, 19, 21, 23, 25, 34 palline, Quante sono le palline rosse ? Detto x il numero delle palline di Gianni ed y quelle rosse, si ha: 3x + y = 140; pertanto 140 – y deve essere un multiplo di 3. Se ne deduce, dopo breve verifica, che y = 23.

17. ESERCIZIO 8 Consideriamo il cerchio in figura ed il triangolo rettangolo ADC sul diametro AD; dal centro O si conduca la perpendicolare al diametro che incontra il cateto AC in B. Sapendo che OB = 5 e che gli angoli OBA e COD sono di 60°, calcolare BC. Osserviamo che gli angoli AOB e OAC sono entrambi di 30°; il triangolo COD è equilatero e quindi, essendo l’angolo DCA retto, anche l’angolo BCO è di 30°. Ne segue che il triangolo COB è isoscele sulla base OC. Pertanto BC=5. A B C 5 O D

18. ESERCIZIO 9 • Un parallelepipedo ha i lati in progressione geometrica ed il volume è di 8 cm3; La superficie totale è di 32 cm2; quanto vale la lunghezza di tutti i suoi spigoli ? x1 , a x1 , a2 x1 sono le tre lunghezze; dobbiamo sapere quanto vale S = 4(x1+x2+x3)=4x1(1+a+a2), sapendo : x1 x2 x3 = (x1a)3 = 8 e x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 16 = (x1)2 ( a + a3 + a3 ). Si vede che x1 a = 2 ; pertanto 8 = x1 (1+a+a2). Dunque S = 32 x3 x1 x2

19. ESERCIZIO 10 • Sia dato il triangolo ABC con l’angolo in C triplo dell’angolo in A; sia CB = 27 cm e AB = 48 cm; quanto è lungo AC ? Il triangolo CBD è isoscele sulla base CD e il triangolo CDA è isoscele sulla base AC. Ne segue che DB = 27; CD = AD = 21. Nei triangoli rettangoli CKD e BHD, che sono simili, si ha subito che BH = ½ (2475)1/2 e, DB = CD = BH:CK = DH:DK. Possiamo così calcolare CK e DK e quindi applicare il teorema di Pitagora al triangolo AKC, per ricavare l’ipotenusa AC (=35). B 27 C H K D 48 A

20. ESERCIZIO 11 Data la parabola y = a x2 + b x + c , avente vertice V = (4,2) e passante per P = (2,0) determinare quanto vale abc. Il punto (6,0) sicuramente è punto della parabola, pertanto l’equazione della parabola sarà del tipo y = a (x-2)(x-6) Imponendo che V appartenga alla parabola si ottiene a = - ½; se ne deduce che, siccome b = -8a e c = 12 a, allora a b c = 12 (4,2) (2,0) (6,0)

21. ESERCIZIO 12 • Siano dati x < y < z e sia m = (x + y + z)/3; siano m* = (x + y)/2 ed m** = (m* + z)/2 . Sotto quali condizioni m** = m ? m** = m  ((x + y)/2 + z)/2 = (x + y + z)/3 (x + y + 2z)3 = (x + y + z)4  2z = (x + y)  z = (x + y)/2 …… quindi ……

22. ESERCIZIO 13 • Sia dato il triangolo ABC, con AB = 8 cm, AC = 6 cm e BC = 7 cm. Prolungare CB dalla parte di C e fissare un punto P per cui i triangoli PAB e PCA siano simili. Quanto vale PC ? P Angoli: APC = APB ; PCA = PAB ; PAC = PBA . Proporzioni: 6:8 = PC:AP = AP:PB ; PB = 8 + PC Qualche conto e poi: PC = 9. C 6 7 A 8 B Una dimostrazione diretta del risultato ?!?

23. ESERCIZIO 14 • Situazione: Stanza buia, cassetto con calzini di vari colori (100 rossi, 80 verdi, 60 blu, 40 neri); occorre prendere 10 paia di calzini. Quanti calzini almeno devo prendere per essere sicuro di avere le 10 paia ? 20 calzini devono essere presi (altrimenti non potrò considerare 10 paia); in questo modo almeno 16 sono appaiati e quindi abbiamo sicuramente 8 paia e i restanti 4 (colori) possono essere spaiati; alla 21 presa rimarranno spaiati 3 soli colori e avremo 9 paia; la 22 potrebbe essere dello stesso colore della precedente presa e quindi in definitiva occorre almeno prendere 23 calzini per essere sicuri di avere 10 paia di calzini.

24. ESERCIZIO 15 • Sia dato un esagono regolare di lato 2 km. Partendo da un vertice V, in senso antiorario, si percorrano due lati e la metà del terzo e si consideri tale punto P; quanto vale VP ? P Per note proprietà dell’esagono regolare: TV = 4; TH = ½ ; PH = (3/4)1/2 Pertanto PV = (13)1/2 T V H 2

25. ESERCIZIO 16 • Sia a numero reale ed f : NxN → R tale che: • f(m,n) = a f(m, n-1) + (1-a) f(m-1, n-1) m, n ½0 • f(0,0)= 1 f(m,0) = f(0,m) = 0. • Trovare a per cui : |f(m,n)|  2003 per ogni n, m . f(p,1) = a f(p,0) + (1-a) f(p-1,0) = 0; f(1,1) = (1-a) ; f(2,2) = a f(2,1) + (1-a) f(1,1) = (1-a)2 ; e per induzione: f(m,m) = (1-a)m per ogni m. Siccome vogliamo che f sia limitata, deve essere |1-a|  1. Siccome è anche f(1,n) = (1-a) an-1 (ancora per induzione) deve essere anche |a|  1. Pertanto a  [0,1]. Supponiamo ora che |f(m,n)|  2003 allora, utilizzando la prima condizione: |f(m, n+1)|  a|f(m,n)| + (1-a) |f(m-1, n-1)|  (a + (1-a)) 2003 = 2003

26. ESERCIZIO 17 Determinare tutte le funzioni F: [0, + )→ [0, + ) per cui • F(u(Fv))F(v) = F(u+v) • F(2) = 0 • F(u) diverso da zero per 0 < u < 2. F(0) = 1 ; difatti per u = 0 si ha: F(0)F(v) = F(v); preso v in ]0,2[ consegue l’asserto. F(u+2) = 0 ; difatti preso v = 2, si ha F(u+2) = F(uF(2))F(2) = 0. Sia ora v in ]0,2[ allora v + u  2  u F(v)  2  u 2/F(v) per ogni u > 0. Pertanto 2 – v = 2/F(v); quindi F(v) = 2/(2-v) per v in ]0,2[

27. ESERCIZIO 18 • Provare che non esiste f : N → N tale che f(f(n)) = n + 2003 per ogni n. Intanto se una siffatta f esistesse si avrebbe che, per ogni n : f f(n + 2003) = n +2003 + 2003 = f(n) + 2003; per induzione si prova che: f f(n + 2003 k) = f(n) +2003 k , per ogni n e k. Allora possiamo definire una funzione tra le classi di N modulo 2003 ponendo F([n]) = [f(n)]. Si ha: F F = Identità Ne segue che esiste r per cui F([r]) = [r]; perciò r + 2003 = f f(r) = f( r + 2003 k) = f(r) + 2003 k = r + 2003 h + 2003 k; assurdo. Si può dare una dimostrazione meno “tecnica” ?!?

28. ESERCIZIO 19 • Se f: R → R verifica le seguenti proprietà • f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y; • f(x)  0 per ogni x, allora f(x) = 0 per ogni x. Per ogni x fissato, si ha f(x + y )  f(x) + f(y)  f(x); pertanto ogni punto x è punto di minimo per la funzione; ne segue che essa deve essere costante; se in un punto avesse valore strettamente positivo si avrebbe f(x) = f(x + y)  f(x) + f(y) = 2 f(x) e quindi un assurdo.

29. ESERCIZIO 20 • Sia f: R → R verificante le seguenti proprietà • f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y; • f(x0) > 0 ; • f continua in R. Allora esiste x* per cui f(x*) = 0. Per l’esercizio precedente non può essere f(x) 0 per ogni x in R, altrimenti dovrebbe coincidere con la funzione nulla contro la seconda condizione; allora esisterà un punto y per cui f(y) < 0; pertanto nell’intervallo di estremi x* ed y potremo applicare il teorema dell’esistenza degli zeri per le funzioni continue.

30. AUGURI • PER LA VOSTRA PARTECIPAZIONE ALLE OLIMPIADI (Siate sportivi, ma con impegno) E • PER GLI ESAMI • PER LA SCELTA UNIVERSITARIA SIAMO CON VOI AUGURI