魔方陣講義第２０回

1. 魔方陣講義第２０回 偶数次魔方陣の一般的解法第１弾 （足し算的手法）

2. 目次 • 一般の意味 • 足し算的手法とは？ • 足し算的手法で８方陣を作る • 足し算的手法でできる魔方陣の個数

3. 一般的解法の一般の意味 • ここ使っている一般的は魔方陣の一般的解法というわけではない。魔方陣の一般的解法とは、すべての解を作る方法を指す。 • むしろここで求める魔方陣は特殊な解である。いわば制約のある解である。もちろん特殊解の集合は一般解の集合に含まれる。 • ここでいう一般は、４以上のいかなる偶数次魔方陣も作ることが可能という意味である。２＊Ｎ次魔方陣のＮが一般的といっているのである。

4. 足し算的手法とは？（その１） • かけ算的手法においては、例えば３次魔方陣と４次魔方陣から１２方陣を作った。 • ３×４＝１２からかけ算的手法と名付けた。 • かけ算的手法によって、多くの偶数次魔方陣が作れる。１２，１６，１８，２０，２４次魔方陣など。 • しかし、例えば１４次魔方陣は１４＝２×７なのでかけ算的手法では作れない。２次魔方陣は存在しないからである。魔方陣は３次以上なのである。 • もし、６次魔方陣と４次魔方陣から１０次魔方陣を作れる方法があれば、次に１０次魔方陣と４次魔方陣から１４方陣を作れる。

5. 足し算的手法とは？（その２） • 以下同様にして１８，２２，２６，３０，・・・・を作れる。 • また４から始めれば４，８，１２，１４，・・・を作れる。 • ２系列を合わせれば、４，６，８，１０，１２，１４，１６，・・・と４次以上の偶数次魔方陣を作れることになる。 • １０次魔方陣と４次魔方陣から１４次魔方陣を作るのは１０＋４の計算に対応するので、この方法を足し算的手法と名付けるのである。 • だが、そんなうまい方法があるだろうか。あれば、偶数次魔方陣の一般的解法ということになる。

6. 足し算的手法で８方陣を作る。 • ４次魔方陣２つから８次魔方陣を作ってみよう。 • 用意する４次魔方陣は、中抜きで使うか連続する数字で使うかによって、条件が異なる。 • 中抜きで使うものは、一般領域で作成できる５４２８個の内、次の条件を満たす４７３６個から任意のものを選ぶことができる。連続する数字で使うものは、制約がなく７０４０個の中から任意の１個を選べる。 • その条件とはどの行をみてもどの列も見ても９以上と８以下が２個ずつ並んでいて、 • かつ対角線上も同じく９以上と８以下が２個ずつ並んでいるという条件

7. 足し算的手法で８方陣を作る（その２） • 先の制約条件を満たせば、２個は同じものであってもよい。 • 今回は次の２個から作ってみよう。 • 今回は、１個目は中抜きで、４分割し対角線外側に埋め込む、 ２個目は中抜きせず真ん中に埋める。

8. 埋め込み先

9. 埋め込む準備 • １個目は９以上のすべての数字に４８を加える。 • ２個目はすべての数字に２４を加える。

10. 埋め込み • 残るは空いているセルの埋め込み • 残っている数字は９～24と41～56である。次のように埋める。 • クリックで正解の一例が出てる。 • その他の埋め方も考えてみよう。

11. ４次魔方陣等の埋め込み方 • 中抜きの観点でいうと、今回は右の図の順番で入れている。 • １番目は、１～８と59～64 • ２番目は、９～12と56～５３ • ３番目は13～１６と52～49 • ６番目は２５～４０で中抜きでない。最後に入れる場合は、４次魔方陣には制約がなく７０４０個から選べる。

12. 異なる埋め方の１例 • 例えば、右のように入れられる。 • 今回は、真ん中に組み込む方に制約があり４７３６個から選ぶ。 • 対角線外側は制約がなく７０４０個から選べる。

13. 埋めて

14. 考えてみよう。 • １～６は任意の順番で埋められる。 • １は中抜きで使えば、4736個、連続で使えば７０４０個の入れ方がある。 • ６も同様 • ２３、４５をセットで考えるとそれぞれに入れられるのは４７３６個以上である。４次魔方陣も入れられるからである。

15. 魔方陣数を計算しよう！ • ４次魔方陣は対角線の条件も満たしているが、対角線の条件は不要なので、２３および４５に入る場合の数は遙かに大きい。 • 10,000と仮定して計算すると、少なくとも • ４!×4,736の２乗×10,000の２乗 • ＝53,831,270,400,000,000通り • これは１，６両方中抜きにした場合である。つまり約５京 • 足し算的手法は、非常に制約された方法である。それにもかかわらずこれだけの数になるのである。一般解の個数は見当もつかないほど大きい。

16. 　　　　続く