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内容提要

内容提要. 第四章 平面一般力系. 1. 力系向一点简化. 2. 平衡条件与平衡方程. 3. 物系平衡和机械的静力计算. 各力作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系. 一、平面一般力系的简化. 1. 力的平移定理. 作用于刚体上的力 , 可以 平移 到同一刚体的任一指定点 , 但必须同时附加一力偶 , 其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩. d. M. F. F. =. O. O. A. A. M= +Fd =M O (F). (4 － 1). 证明 : 设一力 F 作用于刚体的 A 点上 , 且此力到指定点 O 的距离为 d. F.

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  1. 内容提要 第四章 平面一般力系 1.力系向一点简化 2.平衡条件与平衡方程 3.物系平衡和机械的静力计算 各力作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系

  2. 一、平面一般力系的简化 1.力的平移定理 作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩. d M F F = O O A A M= +Fd =MO(F) (4－1)

  3. 证明:设一力F作用于刚体的A点上 ,且此力到指定点O的距离为d. F F1 A d o F F2 A d o F1 M A d o F1 F1 = F2 = F（等值） = [F1 , M = F d] [F1 , ( F2 , F )] F2 Mo(F) = F d = M 一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为M 的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的距离为: 哪一侧：由MO(F)与M转向相同定.

  4. 例1：M=150Nm,F=50N. 求：合力R。 B . B . A . . = d R A M R--合力 F 解：d=M/F=150/50=3m; R=F=50N.

  5. 2.平面一般力系向一点的简化 F2 F1 A2 A1 o Fn An 平面一般力系向一点简化的实质是一个平面一般力系变换为平面汇交力系和平面力偶系 (1)主矢和主矩 设在刚体上作用一平面一般力系F1 ,F2 ,…Fn各力作用点分别为 A1 ,A2 ,…An 如图所示.在平面上任选一点o为简化中心. o

  6. 根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为M1,M2,… Mn的附加平面力偶系.其中 F1= F1 ,F2'= F2 ,…Fn'= Fn F2' F1' Fn' o M2 M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn) M1 Mn

  7. 将这两个力系分别进行合成. R' = F1' + F2' +… + Fn' = F1 + F2 + … + Fn R'=  Fi 一般情况下平面汇交力系 F‘, F2’,…Fn‘ 可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R‘称为 原力系的主矢. (4－2) 一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶, 其力偶矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩. Mo = M1 + M2 +...+ Mn = Mo(F1) + Mo(F2) +...+ Mo(Fn) Mo =  Mo(Fi) (4－3)

  8. 平面一般力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和; 这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和. 力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和, 所以它的大小和方向与简化中心的位置无关 . 结论： 力系对于简化中心的主矩Mo,一般与简化中 心的位置有关.

  9. (2)简化结果的讨论: (a) R‘ 0 , Mo = 0 原力系简化为一个作用 于简化中心O的合力 R' ,且 R'=  Fi (b) R'= 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶 即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且 Mo =  Mo(Fi) (c) R'  0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R 其大小和方向均与R‘相同.而作用线位置与简 化中心点O的距离为:

  10. (d)R‘ = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其 简化结果与简化中心的位置无关. R R Mo O d A (3)合力矩定理 当平面任意力系简化为一 个合力时,合力对力系所在平 面内任一点的矩,等于力系中 各力对同一点的矩的代数和. Mo(R) = ROA = R'OA = MO MO = Mo(Fi) Mo(R) =  Mo(Fi)

  11. F3 C A B F1 F2 例2：正三角形ABC 的边长为a,受力如图.且 F1 = F2 = F3 = F 求此力系的主矢;对A点的主矩及此力系合力作用线的位置.

  12. 解:求力系的主矢 Rx= - F1- F2cos60o- F3cos60o = -2F Ry= F2 sin60o- F3 sin60o = 0 R = 2F C C A A B B 2F 求对A点的主矩 MA MA = a F2 sin60o = 0.87 a F 求合力作用线的位置 2F d 例3

  13. 例3：图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离.例3：图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离. 25kN 20kN B 60o A 30o 18kN 1m 1m 1m Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 R 25 . 59 0 q = = = arccos x arccos 52 . 48 R 42 . 01 解:求力系的主矢

  14. 求力系的主矩 25kN 20kN B 60o A 30o 18kN 1m 1m 1m R' MA d  R MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64

  15. 3.平行分布的线荷载 a b A x A B B (1)定义 集中力;分布荷载;平行 分布线荷载(线荷载) q 线荷载集度q (N/m ; kN/m) 均布线荷载 qx 非均布线荷载 荷载图

  16. (2)均布线荷载 b B a b q q a A B A R =  q xi = q  xi= ql 合力大小: 合力作用线通过中心线AB的中点C R R qxi C C l / 2 l / 2 xi l l

  17. (3)按照线性规律变化的线荷载 b qm A B R qdx 合力大小: C x dx 2l / 3 l 合力作用点C的位置 2

  18. 二、平面一般力系的平衡 (1)平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的必要和充分条件是: 力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零. R' = 0 (4－4) MO = 0 (2)平面一般力系的平衡方程 (a)一力矩式 Fx= 0 Fy= 0 Mo(Fi) = 0 (4－5) （最多能解3个未知量）

  19. (b)二力矩式 MA(Fi) = 0 MB(Fi) = 0 Fx= 0 A B x MA(Fi) = 0 MB(Fi) = 0 MC(Fi) = 0 C 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直. (c)三力矩式 三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.

  20. 例题4. 在水平梁AB上作用一力偶矩为M的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为, 如图所示.梁长为 l 且自重不计.求支座A和 B的反力. P M C A B  l /2 l /2

  21. 解:取水平梁AB为研究对象画受力图. P M C A B  l /2 l /2 Psin l M -M - Psin +FBl=0 FB= + 2 l 2 M Psin FAy= l 2 Fx= 0 FAx - P cos = 0 FAx FAx = P cos FAy FB mA(Fi) = 0 Fy= 0 FAy - P sin + FB = 0

  22. 例题. 图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m ,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长度上支座的约束反力.槽的单位体积重量 = 24.5kN/m³. C 0.8m 0.5m A B 1m (水的=9.8KN/m3 )

  23. 解:取水槽为研究对象画受力图. C 0.8m 0.5m A B W1 = 24.5×1×1×0.1 = 2.45 kN W Fy d 0.45m F MA W2 = 24.5×1×0.7×0.1 = 1.715 kN Fx 0.45m 0.5m W2 W1 F = 0.5×(1×9.8×0.5) ×1 × 0.5 = 1.225 kN W = (1×9.8)×1×0.9 ×0.5 = 4.41 kN

  24. 利用平衡方程求解: Fx + F = 0 Fx= 0 Fx= - 1.225 kN Fy- W - W1 - W2 = 0 Fy= 0 Fy= 8.575 kN MA(Fi) = 0 MA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0 MA = 5.043 kN.m

  25. 三 、平面平行力系的平衡 y Fn F1 F2 o x 立xoy Fx0 (恒等式） (a)一力矩式 Fy= 0 Mo(Fi) = 0 (b)二力矩式 MA(Fi) = 0 MB(Fi) = 0 (A.B连线不能 与各力平行)

  26. M F A B 6m 3m M F A B FA FB 例5：已知F=40KN，M=150KNm.求支座A、B处的反力。 解：研究对象：AB梁. 画受力图. MA=0 -M +FB ·6 - F · 9=0 FB= … =85KN MB=0 - FA ·6 - M - F·3=0 FA= … = - 45KN

  27. 四.静定与静不定问题.物体系统的平衡 (1)静定与静不定问题 对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平 衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求 得全部未知量,这样的问题称为静定问题.（理力） 若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单 独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量, 这样的问题称为静不定问题.（材力）（结力）

  28. F F FBy FAy FAy FB B A A B FAx FBx FAx P P M B B A C A C Fcy P FB FAy Fcx B Fcy C M FAx Fcx A C MA (静不定） (静定） （静不定） （静定）

  29. 物体系统是指由若干个物体通过适当的约 束相互连接而组成的系统. （2）物体系统的平衡 解静定物体系统平衡问题的一般步骤: (a)分析系统由几个物体组成. (b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个 体为研究对象进行受力分析并画受力图. (c)列平衡方程并解出未知量 *.一般需取多次研究对象；受力图正确；定路径。

  30. 例6 .组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知 P = 30kN, Q = 20kN,  = 45o.求支座A和C的约束反力. P Q B A C  2m 2m 2m 2m

  31. Q B C  2m 2m 解：(1)取BC杆为研究对象画受力图. XB RC YB MB(Fi) = 0 - 2×20sin45o +4RC = 0 RC = 7.07 kN

  32. (2)取整体为研究对象画受力图. P Q B A C  2m 2m 2m 2m 。 MA(Fi)=0 MA - P2 -6Qsin45+RC8=0 MA=31.72KNm XA MA RC YA Fx= 0 XA = 14.14 kN XA - 20 cos45o = 0 Fy= 0 YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA=37.07KN 例7

  33. 例题.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力. P 1m q C 3m 2m 2m A B

  34. 解:(1)取整体为研究对象画受力图. P 1m q C 3m 2m 2m A B MA(Fi) = 0 - 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0 XA XB YB YA YB = 19.5 kN YA = 0.5 kN Fy= 0 YA - 20 + 19.5 = 0

  35. (2)取BC为研究对象画受力图. P 1m C 3m B YC MC(Fi) = 0 XC -1×20 + 2×19.5 + 4 XB = 0 XB = - 6.33 kN (3)取整体为研究对象 XB Fx= 0 YB 4×3+XA+XB = 0 XA = - 5.67 kN

  36. 作 业 思考题全看（不交） 必作题：P45页习题：4—1,4—2,4—4。

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