第三节 矩阵对策

1. 第三节 矩阵对策 §3.1 矩阵对策的数学模型 §3.2 矩阵对策的纯策略纳什均衡 §3.3 混合策略矩阵对策 §3.4 矩阵对策纳什均衡存在定理 §3.5 优超及矩阵对策的求解

2. 第三节 矩阵对策 矩阵对策的研究可追朔到冯.诺依曼和摩根斯坦。矩阵对策是二人的零和对策。零和对策，是指在对策中，一方的收益必定是另一方的损失，某些对策方的赢肯定是来源于其他对策方的输,如“齐王赛马”。零和对策各对策之间的利益总是相对立,为了在对策中占据上风，不能让对手猜出自己将选择的策略。

3. 第三节 矩阵对策 §3.1 矩阵对策的数学模型 设Ⅰ、Ⅱ表示两个局中人，并设局中人Ⅰ有 个纯策略 ，局中人Ⅱ有 个纯策略 ，局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为： ={ } ={ } 局中人Ⅰ、Ⅱ所构成的策略组合共有 个，记局中人Ⅰ在策略( )下的得益为 ，则Ⅰ在每个策略的赢得可用一个矩阵表示

4. 第三节 矩阵对策 称 为局中人Ⅰ的赢得矩阵(或为Ⅱ的支付矩阵)，由于对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵为- 。 （8.3.1) 记 （8.3.2） 这就是矩阵对策的基本表示 。

5. 第三节 矩阵对策 例8.3.1石头、剪子、布对策的矩阵表示 策略1代表出石头，策略2、3依次代表出剪子、布。 = §3.2 矩阵对策的纯策略纳什均衡 例8.3.2 给出下面的矩阵对策 ，其中 ={ } ， ={ }，判断并求纯策略纳什均衡。

6. 第三节 矩阵对策 矩阵为 = 双方都考虑到不能去冒风险，对方会设法使它方得到最小收入，所以自己应当从最坏的情形入手，去争取最好的结果 。对局中人I来说，各方案中最坏的结果：A中每一行的最小数分别是：一8，2，一10，一3。其中最好的的结果又是2。于是，局中人I出 参加对策，至少可以保证收入不会少于2；同样道理，

7. 第三节 矩阵对策 • 对局中人Ⅱ来说，各方案最坏的结果中最好的结果(输得最小)是2。于是，局人Ⅱ出 参与对策，那么它最多输2，局势( ， )能使双方同时满意。 定义8.3.1 在矩阵对策 中，式中 = { }， ={ }， = 。 若等式 = = (8.3.3) 成立，记 ，称此为对策 的值。

8. 第三节 矩阵对策 称使(8.3.3)成立策略组合（ ）为该对策的纯策略纳什均衡。 一般地来说，下面不等式是成立的 (8.3.4) 当两者相等时，矩阵对策有纯策略纳什均衡。例8.3.3设矩阵对策 ， 如下所示，求其纳什均衡。

9. 第三节 矩阵对策 = 可以看出，局中人Ⅰ选择方案 、局中人Ⅱ选择 或 是最优纯策略。从例8.3.3看出， 中元素 、 在该行是最小的、而在该列又是最大的 。 定理8.3.1矩阵对策 在纯策略定义下有纳什均衡的充要条件是：存在策略组合

10. 第三节 矩阵对策 使得对一切 均有 • （8.3.5 )定义8.3.2 设 为一个定义在 及 上的实值函数，如果存在 ，使得对一切 和 ，有 • (8.3.6) • 则称 为函数 的一个鞍点 。 矩阵对策的最优解有下列性质：

11. 第三节 矩阵对策 （1）（无差别性） 如（ ）与（ ）是对策的两个解，则 （2）（可交换性） 如（ ）与（ ）是对策的两个解，则（ ）与（ ）也为最优解。 §3.3 混合策略矩阵对策 定义8.3.3 设有矩阵对策 ，其中 ={ }， ={ }， = 。 记

12. 第三节 矩阵对策 = = 称 和 分别为局中人I、Ⅱ的混合策略集； 和 ，称（ ）为局中人I、Ⅱ的混合局势，局中人I的赢得函数记为 • = = (8.3.7) • 这样得到的新对策记为 = ，称为对策 的混合扩充。

13. 第三节 矩阵对策 • 纯策略是混合策略的特例，局中人以纯策略 等价于第 分量取1其余取0。 定义8.3.4 设 = 为 的混合扩充，如果： = (8.3.9) 记其值为 ，则称 为对策 的值，称使(8.3.9)式成立的混合局势( )为 在混合策略意义下的解(或简称解)， 和 分别称为局中人I和II的最优混合策略 (或称最优策略)。

14. 第三节 矩阵对策 定理8.3.2 矩阵对策 在混合策略意义下的有解的充要条件是：存在 和 使（ ）为 的一个鞍点。即 (8.3.10) 其中 是任意的。 例8.3.4 考虑矩阵对策 ，其中 = 纯策略意义下解不存在，混合策略意义下的解

15. 第三节 矩阵对策 设 局中人I的赢得期望 = = -8（ + 取 ， ，有 = = 则 和 分别为局中人的最优策略 .

16. 第三节 矩阵对策 局中人I采用纯策略 而局中人II采用混合策略 ，相应赢得记为 , 有 = (8.3.11) 类似的，II采用纯策略时 局中人1采用混合策略 ，相应赢得记为 ，于是 = = = (8.3.12) 定理8.3.3 设 ， ，则（ ）是对策的纳什均衡的充要条件是 对 ，有 （8.3.13)

17. 第三节 矩阵对策 下面是定理8.3.3的等价形式。 定理8.3.4设 ， ，则（ ）是对策 的纳什均衡的充要条件是：存在实数 ，使得 ， 为下列不等式组的解 （I） (8.3.16) （II） (8.3.17)

18. 第三节 矩阵对策 此处不证明的介绍矩阵对策的基本定理: 定理8.3.5 任一矩阵对策 ，一定存在混合意义下的解。 下面是矩阵对策及其纳什均衡的若干性质． 定理8.3.6　设（ ）是矩阵对策 的纳什均衡， ，则 （1）若 ＞０， 则 ＝ ． （2）若 ＞０， 则 ＝ ．

19. 第三节 矩阵对策 （3）若 ＜ ， 则 ＝０ . （4）若 ＞ ，则 ＝０． 如果记矩阵对策 的解集为 ，则下面是 关于阵对策解集的主要结果： 定理8.3.7　设两矩阵对策　 与 ， ， ，为任意常数．则 （１） ． （２） ＝

20. 第三节 矩阵对策 定理8.3.8　设两矩阵对策　 与 ， 为一常数．则 （１） ． （２） ＝ ． 定理8.3.9设 为矩阵对策，且 ，则（１） （２） ＝　 式中 与 分别为局中人I、Ⅱ的最优策略集.

21. 第三节 矩阵对策 §3.5 优超及矩阵对策的求解 定义8.3.5设有矩阵对策 ，其中 ={ }， ={ }， = 。 若 对 有 则称局中人I的纯策略 优于纯策略 ；同样地，若对 有 则称局中人Ⅱ的纯策略 优于纯策略 。定理8.3.10 设有矩阵对策 ，其中 ={ } ， ={ }， = 。

22. 第三节 矩阵对策 如果纯策略 被 中任一所优超，则可由 导出一个新矩阵对策： ，式中 ={ }， ， ， ， 。于是有 （1） （2） 中局中人Ⅱ的最优策略与其在 中的最优策略相同。 （3）当 是 中局中人I的最优策略，则 为其在中的最优解。

23. 第三节 矩阵对策 矩阵对策的求解方法： 1.优超原则法 例8.3.5矩阵对策的赢得矩阵如下，求其纳什均衡 = 局中人I的策略 被 优超，将矩阵的第一行划 去 ；局中人Ⅱ的策略 被 优超，划去第一列； 又因为得到的3阶矩阵的元素满足第一列大于

24. 1 3 2 图8.3.1 第三节 矩阵对策 或等于1/2倍的2、3列之和，划去第一列，又将 第一行划去得2 2矩阵 ，即求最优解 。 2. 和 矩阵对策的图解法

25. 第三节 矩阵对策 上面以 矩阵对策为例说明其图解法，此处 = 。 3.线形方程组法 根据前面定理可将其转为以下方程组： 与 方程组非负解 ，则便得到一个纳什均衡 （ ) ；有负分量时，可视具体情况，

26. 第三节 矩阵对策 将某些等式变为不等式，继续直至求出其解。 例8.3.6 求解 “齐王赛马”的纳什均衡。 解：齐王的赢得矩阵为 = 由于无鞍点，对齐王和田忌来说不存在最优纯策 略。解方程组得： ； ， 。 最优混合策略为双方都以1／6的概率选取每个 纯策略，总的结局应该是：齐王有5／6的机会赢 田忌，赢得的期望值是1千金。还有开局前应对

27. 第三节 矩阵对策 自己开局前均应对自己的策略(实际上实施的纯 策略)加以保密 。 4.线性规划解法 对矩阵对策来说，其求解可构造出一组互为对偶的线性规划问题，而这组对偶规划都有可行解，可借助线性规划方法求解。 （1） 与（2）

28. 第三节 矩阵对策 其中 = 就是对策的值 。 例8.3.7利用线性规划方法求解得益阵 的矩阵对策的纳什均衡。 解之 (0.36,0.49,0.15) (0.37,0.35,0.28） 3.39