√ 원리를 알면 IT 가 맛있다

1. 이산수학 논리∙명제에서 알고리즘까지 √ 원리를 알면 IT가 맛있다

2. Chapter 10. 알 고 리 즘

3. 학습목표 • 알고리즘의 개념을 익히고 의사코드로 표현 • 데이터 정렬 알고리즘의 이해 • 탐색 알고리즘의 다양한 방법 익히기 • 알고리즘 검증 방법과 적합한 알고리즘의 선택 • 알고리즘 복잡도를 이해하고 계산하기

4. Section 01. 기본 개념 • 알고리즘(Algorithm) • 주어진 문제를 해결하기 위한 일련의 절차 • 알고리즘 개발 조건 • 입력(input) • 출력(output) • 정확성(correctness) • 유한성(finiteness) • 일반성(generality)

5. 기본 개념(계속) • [예제01] 다음 제시된 알고리즘이 다섯 가지 알고리즘 개발 조건을 만 족 하는지 검증하여라.

6. 기본 개념(계속) 100cm 30cm 30cm 30cm 10cm 30cm • [정리01] 음이 아닌 정수 a 와 양의 정수 b 에 대하여 r = a mod b 면 다음이 성립한다. gcd(a, b)=gcd(b, r) gcd(100, 30) = gcd(30, 10)

7. 기본 개념(계속) 나머지가 0이 되면 최대공약수임 두 수 중 큰 수를 a에 둔다. • 유클리드 알고리즘(Euclidean algorithm)

8. 기본 개념(계속) • [예제05] 유클리드 알고리즘을 이용하여 gcd(331, 993)을 구하여라. [풀이] 알고리즘은 먼저 주어진 두 수의 크기를 묻는 if명령문으로 시작한다. 유클리드 알고리즘은 최대공약수를 구하는 두 수 중에 큰 수가 항상 앞에 오도록 조정한다. if조건문에서 a = 331 < 993 = b므로 조건이 참이 되어 명령문을 실행한다. tmp변수를 이용하여 a, b두 수를 서 로 교환한다.

9. 기본 개념(계속) 결국 명령문을 수행한 뒤에는 gcd(b, a) = gcd(993, 331)문제를 풀이하는 것과 같아진다. 다음으로 반복문을 수행하기 위해 조건문을 검사하면 b=331≠0 이므로 조건이 참이 된다. 따라서 명령문을 수행하면 r = a mod b = 993 mod 331 = 0

10. 기본 개념(계속) a = b = 331 b = r = 0 이다. 아직 반복문이 종료되지 않았으므로 다시 while 반복문의 조건을 검사한다. 그런데 b = 0 이 되어 조건이 거짓이므로 반복문의 명령을 수행하지 않는다. 그러므로 명령문이 실행된 후에 gcd(331, 993) = 331 이 된다.

11. Section02. 정렬 알고리즘 • 정렬(sorting) • 데이터의 저장 위치에 따라 • 내부정렬(internal sort) 방식 • 주기억장치 내에서 이루어지는 정렬 방식 • 버블정렬 • 선택정렬 • 퀵정렬 • 외부정렬(external sort) 방식 • 외부정렬은 보조기억장치를 이용하는 방식

12. 정렬 알고리즘 - 버블정렬 • 버블정렬(bubble sort) 방식 • 배열 A에서 인접한 두 데이터 A[i]와 A[i+1]을 비교하여 A[i+1]이 A[i] 보다 작다면 두 데이터를 서로 교환하여 주면서 큰 데이터가 배열의 끝에 오도록 정렬 • 데이터의 양이 늘어날수록 느리고 비효율적인 방식

13. 정렬 알고리즘 – 버블정렬(계속) • 버블정렬 예제

14. 정렬 알고리즘 – 버블정렬(계속) • 버블정렬 1단계

15. 정렬 알고리즘 – 버블정렬(계속) • 버블정렬 2단계

16. 정렬 알고리즘 – 버블정렬(계속) • 버블정렬 완성

17. 정렬 알고리즘 – 버블정렬(계속) • 버블정렬 알고리즘

18. 정렬 알고리즘 - 선택정렬 • 선택정렬(selection sort) 방식 • 데이터에서 제일 큰 값이나 제일 작은 값을 찾은 후에 그 값만을 단계적으로 교환하여 정렬을 이뤄나가는 방식 • 적은 양의 데이터를 정렬시키고자 할 때 데이터 이동을 최소화 하면서 가장 효과적으로 정렬시키는 방식 • 선택정렬 과정 • n개의 데이터 값들 중에서 가장 큰 값을 찾음 • 그 값이 A[j]에 있다면 A[j]와 A[n-1]번째 값을 서로 교환 • 가장 큰 값을 배열의 맨 마지막 A[n-1]에 정렬 • 맨 마지막 원소 A[n-1]를 제외한 나머지 값들로 같은 과정을 반복 실행

19. 정렬 알고리즘 – 선택정렬(계속) • 선택정렬 예제 • 선택정렬 1단계 완성

20. 정렬 알고리즘 – 선택정렬(계속) • 선택정렬 완성

21. 정렬 알고리즘 – 선택정렬(계속) • 선택정렬 알고리즘 각 단계에서 제일 큰 값 찾기

22. 정렬 알고리즘 – 삽입정렬 • 삽입정렬(insertion sort) 방식 • 새로운 데이터를 정렬된 데이터에 삽입해 나가는 과정을 반복하여 전체 데이터를 정렬하는 방식 • 삽입정렬 과정 • n개의 데이터 정렬 시 처음의 A[0]는 정렬된 데이터로 취급 • 다음 데이터 A[1]을 정렬된 데이터와 비교하여 적절한 위치에 삽입 • 다음 데이터 A[2]를 정렬된 데이터 A[0], A[1]과 비교하여 적절한 위치에 삽입 • 같은 방식으로 나머지 데이터들을 삽입하여 정렬을 완성

23. 정렬 알고리즘 – 삽입정렬(계속) • 삽입정렬 예제 • A[2] 원소의 삽입정렬

24. 정렬 알고리즘 – 삽입정렬(계속) • A[3] 원소의 삽입정렬

25. 정렬 알고리즘 – 삽입정렬(계속) • 삽입정렬 완성

26. 정렬 알고리즘 – 삽입정렬(계속) • 삽입정렬 알고리즘

27. 정렬 알고리즘 - 퀵정렬 • 퀵정렬(quick sort) 방식 • 비교적 빠르고 효율적인 알고리즘으로 가장 많이 사용되는 정렬 알고리즘 • 퀵정렬 과정 • 특정한 데이터 피봇(pivot) 기준 • 전체 원소를 피봇 보다 작은 원소들과 피봇 보다 큰 원소들의 집합으로 분류 • 분류된 각각의 집합에서 다시 피봇을 설정 • 같은 과정을 반복하여 집합을 정렬

28. 정렬 알고리즘 – 퀵정렬(계속) • 퀵정렬 예제 • 피봇과 키 설정

29. 정렬 알고리즘 – 퀵정렬(계속) • 처음 키 값의 교환 • 처음 피봇 7에 대해 L과 R이 가리키는 값을 찾음 • L = A[1] = 8 • R = A[6] = 2 • L이 가리키는 값과 R이 가리키는 값을 서로 교환

30. 정렬 알고리즘 – 퀵정렬(계속) • 퀵정렬 1단계 완성

31. 정렬 알고리즘 – 퀵정렬(계속) • 퀵정렬 2단계 완성

32. 정렬 알고리즘 – 퀵정렬(계속) • 퀵정렬 완성

33. 정렬 알고리즘 - 합병정렬 • 합병정렬(merge sort) 방식 • 합병정렬 과정 • 정렬하고자 하는 데이터의 모임을 비슷한 크기의 두 부분으로 반복해서 나눔 • 나뉘어진 부분 데이터들을 합병정렬 알고리즘을 이용하여 정렬 • 정렬된 부분 데이터들을 다시 합병 • 하나의 정렬된 데이터 모임으로 완성

34. 정렬 알고리즘 – 합병정렬(계속) • 합병정렬 예제 • 합병정렬의 분할과정 • 그림10-20삽입

35. 정렬 알고리즘 – 합병정렬(계속) • 합병정렬 완성

36. 정렬 알고리즘 – 합병정렬(계속) • 합병정렬 알고리즘

37. Section03. 탐색 알고리즘 • 탐색(search) • 데이터가 가지고 있는 특정한 키(key)를 찾는 작업 • 데이터는 레코드(record) 형태로 구성 • 레코드 : 특정한 필드들의 모임 • 필드(field) : 데이터가 가지고 있는 특정한 값들을 의미 • 키(key) : 각 데이터를 구분해주는 고유한 필드

38. 탐색 알고리즘 - 선형탐색 • 선형탐색(linear search) 방식 • 이해하기 쉽고 간단한 탐색 알고리즘 • 순차탐색(sequential search)이라고도 함 • 선형탐색은 주어진 데이터의 조작 없이 순서대로 데이터를 탐색하는 방법 • 데이터의 양이 많거나 빠르게 검색하고자 할 경우 부적절

39. 탐색 알고리즘 – 선형탐색(계속) • 선형탐색 알고리즘

40. 탐색 알고리즘 – 이진탐색 • 이진탐색(binary search) 방식 • 정렬되어 있는 데이터에서 원하는 값을 찾을 때 효과적인 탐색 방법 • 정렬된 데이터의 중간 값을 찾는 값과 비교하여 그 값이 작은 쪽에 속하는지 큰 쪽에 속하는지를 판단하면서 원하는 값을 찾는 탐색 방법

41. 탐색 알고리즘 – 이진탐색(계속) • [예제15] 이진탐색 알고리즘을 이용하여 다음 데이터에서 주어진 key 값을 탐색하여라. [2 4 7 12 21 34 57 68], key = 7 [풀이] 이진탐색을 위해 주어진 데이터는 이미 정렬이 되어 있는 상 태다. 만일 정렬되지 않은 데이터라면 정렬 알고리즘을 이용 하여 데이터를 정렬시킨 뒤 탐색한다. 알고리즘 탐색을 위해 주어진 데이터를 배열에 입력하면 다음과 같다. 데이터를 탐색하여 찾고자 하는 key 값은 7이다. 전체 데이 터가 8 개므로 알고리즘 초기값에서 first = 0, last = 8 이 되

42. 탐색 알고리즘 – 이진탐색(계속) 어 first <= last므로 while 반복문을 실행하면 가 되어 A[4]와 key = 7 값을 비교하게 된다. A[4]=21이 므로 key = 7 이 더 작다. 따라서 last = mid -1 = 4-1 = 3 이 된다. 아직 반복문이 종료되지 않았으므로 재실행하면 이 되며, A[1]=4가 되어 key = 7 이 더 크다. 따라서 first = mid + 1 = 2 가 된다. 다시 반복문을 실행하 면 가 되고 A[2] = 7 이므로 찾는 key값과 일치한다. 그러므로 원하는 key = 7 을 A[2]에서 탐색하고 알고리즘은 종료된다.

43. 탐색 알고리즘 - 이진탐색트리 • 이진탐색트리(binary search tree) 방식 • 데이터의 탐색뿐만 아니라 삽입과 삭제도 편리하게 진행할 수 있는 방식 • 이진탐색트리는 정렬된 데이터뿐만 아니라 정렬되지 않은 데이터도 트리 형태로 구현하여 이진탐색으로 원하는 값을 탐색 • 탐색을 위해 데이터를 트리 형태로 구현

44. 탐색 알고리즘 – 이진탐색트리(계속) • 이진탐색트리 예제 • 이진탐색트리 완성

45. 탐색 알고리즘 – 이진탐색트리(계속) • 이진탐색트리에서의 탐색

46. Section04. 알고리즘 복잡도 • 알고리즘 복잡도(complexities of algorithm) • 알고리즘이 수행되는 데 필요한 시간과 공간을 측정하는 작업 • 알고리즘이 실행되는 데 필요한 시간과 기억장소의 양을 측정하는 작업 • 알고리즘을 보고 분석하여 판단하는 계산 값 • Big-Oh표기법 • 알고리즘 복잡도를 대문자 O를 사용하여 표기

47. 알고리즘 복잡도(계속) • [정의1] • Big-Oh 표기법 • f와 g를 음수 값을 갖지 않는 함수라 하자. 이 때 n≥n0인 모든 자연수 n에 대하여 f(n)≤c·g(n)가 되는 양의 상수 c와 n0가 존재하면 f(n) = O(g(n))이라고 한다.

48. 알고리즘 복잡도(계속) • [예제16] 함수 일 때 임을 보여라. [풀이] 상수 c = 67 , n0 = 1이 존재하므로 이다.

49. 알고리즘 복잡도(계속) • 다양한 복잡도 함수들

50. 알고리즘 복잡도(계속) • [예제20] 임을 보여라. [풀이]