第二章 流体静力学

1. 第二章 流体静力学 2.1 流体静压强及其特性 2.2 静止流体平衡微分方程式 2.3 重力场中静止流体内的压强分布 2.4 压强测量 2.5液体的相对平衡 2.6 作用在平面上的流体静压力 2.7 作用在曲面上的流体静压力 2.8 浮力

2. 2.1 流体静压强及其特性 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。

3. 2.1 流体静压强及其特性 • 一、基本概念 1.静压强 作用在单位面积上的力。 面积ΔA上的平均压强： p =ΔP/ΔA 当面积ΔA无限缩小趋近于零时， 平均压强的极限为： 式中p为O点的流体静压强。

4. 2.1 流体静压强及其特性 • 二、静压强的特性 1.静水压强垂直指向作用面，即内法线方向。 （垂直性） 反证法

5. 2.1 流体静压强及其特性 2.静止液体中任意点处各个方向的静水压强相等 （各向等值性） 证明思路 取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论

6. 2.1 流体静压强及其特性 取研究对象 • 取一四面体OABC，三条边相互垂直且与坐标重合， 受力分析 质量力 表面力

7. 2.1 流体静压强及其特性 导出关系式 对于任一轴： 对于x轴 得出结论

8. 2.1 流体静压强及其特性 上式表明：只要O点的位置坐标为定值时，则自各个方向作用于O点的流体静压强是完全等值的。 上式也表明：平衡流体中任意点 的压强只是位置坐标的函数，与 其作用方向无关。

9. 2.2 静止流体平衡微分方程式 质量力 表面力 微元体受力分析 流体静力平衡 微 分 方 程 （欧拉平衡方程） 方程式推导思路： 对连续的同一不可压缩流体，在重力场中 将微分方程积分 流体静力平衡方程

10. 一、 平衡微分方程的推导 取研究对象 在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在x方向的受力。 微元所受 x方向上的质量力为 表面力在 x方向上的分量只有左右一对面元上的压力，合力为

11. 平衡微分方程的矢量形式 平衡方程为 或 同理有 和

12. 二、 平衡微分方程的积分 上式称为平衡流体 中压力差公式 由于压强是坐标的连续函数 若质量力也为势函数，即 则 积分得 积分常数C的确定：假定平衡流体中某点的压强为p0 、力势函数为W0，则： 平衡微分方 程的积分式

13. 三、 等压面 1、等压面： dp =0 的面称为等压面 等压面的特性：1. 在平衡的流体中，通过任意一点的等压面， 必与该点所受的质量力相互垂直。重力场？ 2. 当两种互不相溶的液体处于平衡时，分界 面必定是等压面。 2、等压面的应用 （连通器原理——同一水平面上各点的静压强相等，见后） 3、等压面的应用条件：同一、静止、连续的不可压缩流体 4、 结论：在重力场中，任意形式的连通器内，在紧密连续而又 属于同一性质的静止的均质液体中，深度相同的点， 其压强必然相等。

14. 例题：在右图所示盛有三种液体的连通器中，就必然存在：例题：在右图所示盛有三种液体的连通器中，就必然存在： 但如果写出等式 将是错误的 。因为处于 A、B两容器中的液体， 即非紧密连续，又不是 同一性质的液体，就不 能应用上述等压面的条件。

15. 2.3 重力场中静止流体内的压强分布 一. 重力作用下的平衡方程 方程的导出： 在重力场中，单位质量力只有重力，即： 代入压力差公式 积分得： 积分常数根据液体自由表面上的边界条件确定：

16. 静力学基本方程的两种表达形式 代入公式 得： 或由式 整理得：

17. ——位置水头，以任取水平面为基准面z=0，铅垂向 上为正。 • ——压强水头，以大气压为基准，用相对压强代入计 算。 • ——测压管水头。 方程的物理意义： 三. 位置水头、压强水头、测压管水头 • 在静水压强分布公式中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。

18. 测压管内的静止液面上p = 0 ，其液面高程即为 测点处的 ，所以 叫测压管水头。 • 测压管水头的含义 在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。 O O

19. 测静压只须一根测压管 如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。 O O

20. 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图

21. 各项水头也可理解成单位重量液体的能量 z 位置势能，（从基准面z = 0算起铅垂向上为正。 ） 压强势能（从大气压强算起） 总势能 • 液体的平衡规律表明 位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和 — 测压管水头（总势能）是保持不变的。

22. 四. 压强的度量单位 1.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力表示。 国际单位：Pa [N/㎡] 工程单位：kgf/㎡ 2.用大气压的倍数表示。 标准大气压：atm (0℃，海平面) 工程大气压：at （1kgf/㎡） 3.用液柱的高度来表示。 水柱高度：mH2O 汞柱高度：mmHg 1标准物理大气压(atm)=1.033公斤力/厘米2=101325帕 1工程大气压(at)=98000帕=10mH20=735.6mmHg

23. 几种流体静压强计量单位及其换算系数表:

24. 静压强的分布图 静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度h成正比。 • 虚线相对压强；实线绝对压强

25. 2.4 压强测量 一. 绝对压强、相对压强、真空 • 压强 p记值的零点不同，有不同的名称： 绝对压强 以完全真空为零点，记为p′ 相对压强 以当地大气压pa为零点，记为p 两者的关系为:p=p′-pa A 压强 A点相对压强 真空压强 相对压强基准 相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。 大气压强pa A点绝对压强 B B点真空压强 B点绝对压强 绝对压强基准 O O

26. 今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为p，若指绝对压强则特别注明。今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为p，若指绝对压强则特别注明。 A 压强 A点相对压强 相对压强基准 大气压强pa A点绝对压强 B B点真空压强 B点绝对压强 绝对压强基准 O O

27. 二. 测压原理 • 用测压管测量 测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。

28. 如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。

29. 一端连接在与待测点A同高的容器壁上，另一 端直接通大气的直径不少于5mm的玻璃管。当 所测压强大于2mH2O水柱时不得使用。 • 测压管： 测压管 真空计或倒式测压管

30. U形测压管： 当测压管压强较大或液柱较高时，可在U形管 中装入密度较大的介质从而用较短的测压管 测定较大的压强或真空度。 U 形 真 空 计 U 形 测 压 管

31. 多支U形管测压计： 测定大于3atm的压强。 1.确定压强已知的面 2.根据等压面应用的条件，划出等压面 3.从已知面开始，逐步推出未知面压强

32. 压差计： 测定两处压强差。

33. 微压计： 测定压强差很小的仪器。

34. 杯式压差计： 测定压强很小的仪器。

35. 2.5液体的相对平衡 原点取在自由面与对称轴的交点。 这时单位质量力就有两个, 即牵连惯性力：X＝－a Y＝0 重力：Z＝－g 代入压强全微分方程中,得： dP＝－ρ（adx＋gdz） 积分得：P＝－ρ（ax＋gz）＋C 由边界条件：x＝z＝0,P=Pa 得 C＝Pa。 一、等加速直线运动中液体的平衡 静止液体 等加速直线运动液体 相对压强： 等压面的方程：p＝常数 即：ax＋gz＝const，写成直线方程：z＝－ax/g＋c’ c’取不同值时表示不同的等压面，即等压面是一簇倾斜的平面，斜率为－a/g。 质量力的合力的斜率为g/a,二者相乘刚好等于－1， 说明等压面与质量力是正交的。

36. 单位质量的重力在各轴向的分力为：X1=0;Y1=0;Z1=－g单位质量的重力在各轴向的分力为：X1=0;Y1=0;Z1=－g 牵连离心惯性力为： m——质点的质量 ω——旋转角速度 r——A点距z轴的半径。 二、容器等角速旋转运动中液体的平衡 单位质量的分力 dp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz) 边界条件：x＝y＝z＝0,p=pa 得C＝pa

37. 等压面方程为： 自由面方程：p＝0 静止液体沿铅直轴等角速旋转液体

38. 2.6 作用在平面上的流体静压力 • 一、压力现象 • 在设计水箱、挡水闸门、油罐、水曝清砂水池等设备时，会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题； 流体作用在固体壁面上的总压力，是由该壁面所接触的流体静压强所引起的，应用流体静压强计算公式可以计算出作用在平面上的总压力； • 完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。 确定静止流体作用在平面上的总压力的方法，有解析法和图解法，这两种方法的原理和结果是一样的，都是根据流体中的静压强的分布规律来计算的。

39. H • 二、压力计算 静止流体作用在平面上的总压力是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，作用力垂直于作用面，指向自己判断。 • 静压强在平面域A上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。 H

40. H h H H h H h

41. 1. 解析法求任意形状平面上的静水总压力 • 总压力的大小 • 当平板左右两面都受到p0的作用时：

42. 求解原理： 合力对任一轴的力矩等于其分力对同一轴的力矩和。 • 总压力的作用点 • 同理：

43. 结论： • 平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形心处的压强。总压力大小等于作用面形心 C处的压强pC乘上作用面的面积 A . • 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。

44. h • 只要平面的面积和形心处的淹深相同，则平板所受到的静水压力也相同。 • 静力奇象

45. 注意点 当平板左侧液面压强p01不等于平板右侧所受 压强p02时，平板所受总压力： 上式要写成： 则左右两侧自由面上的压强应相等

46. 2. 压力图法求矩形平面上的静水总压力 • 当受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时，采用图算法便于对受压结构物进行受力分析。 Ap —平面所受的流体静压强分布图的面积

47. 流体静压力的大小与以压强分布图为底面，高度为矩形宽b流体静压力的大小与以压强分布图为底面，高度为矩形宽b 的柱体体积相等。即流体静压力相当于这样一块匀质流体 压在受压面上。 总压力的作用线一定通过该柱体的重心，并垂直指向作用面。 • 梯形压力分布图的形心距底 • 三角形压力分布图的形心距底

48. 例题：如图,在蓄水池垂直挡水墙上的泄水孔处，装有尺寸为b×h= 1m×0.5m的矩形闸门，闸门上A点用铰链与挡水墙相连，A点距液面高度为2m，开启闸门的锁链连接于闸门下缘B点，并与水面成45度角。忽略闸门自重及铰链的摩擦力，求开启闸门所需拉力T至少应为多大？

49. 例题：一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知θ=60˚，H=6 m,h=2m,h1=1.5m,不计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT。

50. 2.7 作用在曲面上的流体静压力 • 一、压力现象 • 一些弧形闸门、水管壁面、球形容器及拱坝坝面等也会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题； 由于曲面上各点的法向不同，对曲面 求解总压力 时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。 h H