數學 ------- 通往資訊的終南捷徑

1. 數學-------通往資訊的終南捷徑 張鎮華 臺灣大學數學系

2. 演講內容 • 數學的基本在於計算 • 電腦可幫忙數學計算 • 資訊科學奠基於數學 • 電腦應用的數學理論 • 演算法 • 中小學老師的角色

3. 數學的基本在於計算-1 • 3 + 5 = ? • 8 + 9 = ? • 2 x 5 = ? • 384 x 426 = ? • 1 + 2 + … + 100 = ?

4. 數學的基本在於計算-2 • 3 + 5 = ? • *1 *2 *3 • *1 *2 *3 *4 *5 • * * * * * * * * • 1 2 3 4 5 6 7 8

5. 數學的基本在於計算-3 • 8 + 9 = ? • 另類解法: 8 = 10 – 2, • 9 = 10 – 1, • 由 2 + 1 = 3, • 得 8 + 9 = 20 – 3 = 17.

6. 數學的基本在於計算-4 • 2 x 5 = ? • * * • * * * * * * * • * * * * * * * • * * • * *

7. 數學的基本在於計算-5 • 384 x 426 = ? • 163584. • 1 + 2 + … + 100 = ? • (1+100) x 100/2 = 5050.

8. 電腦可幫忙數學計算-1 • 6是完全數. • 上帝利用6天的時間創造世界. • 28是完全數. • 月亮繞地球一圈走了28天.

9. 電腦可幫忙數學計算-2 • 一個正整數如果等於比它小的所有正因數的和, 則稱為完全數. • 6 = 1 + 2 + 3. • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. • 496 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + ….

10. 電腦可幫忙數學計算-3 • 完全數是不是無限多個? • 到目前為止不知道! • 是不是有奇完全數? • 到目前為止不知道! • 除了6, 28, 還有那些偶完全數?

11. 電腦可幫忙數學計算-4 • 歐基里德定理. 一正偶數是完全數的充分必要條件是, 這個數可以寫成 2^(n – 1) (2^n – 1) 的樣子, 其中2^n – 1為質數. • 6 = 2^1 (2^2 – 1). • 28 = 2^2 (2^3 – 1).

12. 電腦可幫忙數學計算-5 • 形如2^n – 1的質數稱為梅仙尼質數. • 如果2^n – 1是質數, 則n也是質數. • 到目前為只止找到34個梅仙尼質數.

13. 電腦可幫忙數學計算-6 • n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, • 31, 61, 89, 107, 127, • 512, 607, • 1279, 2203, …… • 1257787

14. 電腦可幫忙數學計算-7 • http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/ • 黃文璋, 完全數與梅仙尼質數, 數學傳播21卷3期, 民國86年9月. • http://www.math.sinica.edu.tw

15. 電腦可幫忙數學計算-8 • 圓周率就是圓周和半徑的比率. • 3.14159 26535 89793 • 23846 26433 83279 • 50288 41971 69399 • 37510

16. 電腦可幫忙數學計算-9 • 利用arctan的Taylor展開式求pi的值. • 王九逵, 怎樣算pi, 數學傳播10卷2期, 民國75年6月.

17. 資訊科學奠基於數學-1 • 布耳代數出自十九世紀英國學者布耳(G. Boole, 1815-1864) 所著”思維規律的研究”. • MIT學生夏濃(C. Shannon, 1916-)的碩士論文以此為基礎,定義資訊的計算單位, 稱為位元.

18. 資訊科學奠基於數學-2 • not 1 = 0 not 0 = 1 • 1 and 1 = 1 1 or 1 = 1 • 1 and 0 = 0 1 or 0 = 1 • 0 and 1 = 0 0 or 1 = 1 • 0 and 0 = 0 0 or 1 = 0

19. 資訊科學奠基於數學-3 • 1 xor 1 = 0 1 or 1 = 1 • 1 xor 0 = 1 1 or 0 = 1 • 0 xor 1 = 1 0 or 1 = 1 • 0 xor 0 = 0 0 or 1 = 0

20. 資訊科學奠基於數學-4 • 00000011 • + 00000101 • = 00001000 • 第1位得0 (= 1 xor 1 ) • 進1 (= 1 and 1)

21. 資訊科學奠基於數學-5 • 英國數學家杜林(A. Turing, 1912-1954)於1937年提出通用電腦的概念, 現在俗稱杜林機. • 為紀念杜林, 後人成立杜林獎, 是現在理論計算機界的最大獎. • 姚期智獲得2000年杜林機.

22. 資訊科學奠基於數學-6 • Daniel Hills著, 林遠志與陳振男譯, 電腦如何思考, 天下文化, 科學大師系列(13).

23. 電腦應用的數學理論-1 • 楊重駿,楊照崑, 數論在密碼上的應用, 數學傳播26卷2期及3期, 民國86年9月及12月. • R.L. Rivest, A. Shcmir and L. Adleman, Communication of ACM, 1978, pp. 120-126.

24. 電腦應用的數學理論-2 • 代換法: 我有一個秘密對你說 • 3314 1432 0001 … • (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) • (2 3 5 7 6 4 9 0 8 1) • 7736 3675 2223 …

25. 電腦應用的數學理論-3 • 置換法: 7736367522231456 • 7 52 6 • 7 7 2 5 • 3 6 2 4 • 63 31 • 7526 7725 3624 6331

26. 電腦應用的數學理論-4 • 費馬小定理. 如果a不被質數n整除, 則a的n–1次方除以n得到的餘數是1. • 尤拉定理. 如果a和n互質, 界於1和n之間恰有m數和n互質,則a的n–1次方除以n得到的餘數是1.

27. 電腦應用的數學理論-5 • 利用尤拉定理及mod運算的基本性質, 可造出“公開式密碼”, 著名的如Rivest-Schmir-Adleman (RSA) 法.

28. 電腦應用的數學理論-6 • 射影幾何與虛擬實境. • 離散數學與網路理論. • 排隊理論與通訊網路. • 網頁的搜尋. • 指紋及臉形判別.

29. 演算法-1 • 演算法 Algorithm • 代數 Algebra • A step-by-step procedure for solving a problem or accomplishing some end.

30. 演算法-2 • 時間複雜度的重要性 • 排序 • 將a1, a2, …, an由大到小排序. • 例如: 3, 11, 4, 38, 9, 10. • 排成: 38, 11, 10, 9, 4, 3.

31. 演算法-3 • 3, 11, 4, 38, 9, 10 • 11, 3, 4, 38, 9, 10 • 11,4, 3,38, 9, 10 • 11,4,38, 3, 9, 10 • 11,4,38, 9, 3, 10 • 11,4,38, 9, 10, (3)

32. 演算法-4 • Bubble sort 所費時間O(n^2). • Insertion sort 所費時間亦同. • Selection sort 所費時間亦同. • Quick sort 平均較快. • Heap sort 費時O(n log n) .

33. 演算法-5 • 給定n個實數a1, a2, …, an, 找出和為最大的一段連續部份. • 3 -1 -4 1 -5 7 -5 6 -9 4 • 7 -5 6 • 有O(n^3)算法. 能不能更快?

34. 演算法-6 • 各種設計方法: • 分治法, • 動態規劃, • 貪求法, • 分枝法.…

35. 演算法-7 • 近似算法. • 平行演算法. • 隨機演算法. • 量子計算.

36. 中小學老師的角色-1 • 教學生數的表示法. • 十進位: 92 • 二進位: 1011100 • 八進位: 134 (1011100) • 十六進位: 5C (1011100)

37. 中小學老師的角色-2 • 數學歸納法與遞迴. • gcd(90, 48) • = gcd(48, 42) • = gcd(42, 6) • = gcd(6, 0) = 6 .

38. 中小學老師的角色-3 • proc gcd(a, b) • { if (b==0) return a; • r = a mod b; • return gcd(b, r); • }

39. 中小學老師的角色-4 • while (b != 0) • { r = a mod b; • a = b; • b = r; } • gcd = a;

40. 謝 謝