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第 4 章 基本图形（一）

第 4 章 基本图形（一）. 第 17 课　线段、角、相交线和平行线. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 1. 线段沿着一个方向无限延长就成为 ；线段向两方无限延长就成为 ；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． 2. 直线的基本性质： ． 线段的基本性质： ，连结两点的 ，叫做两点之间的距离． 3 ．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)1 周角＝ 平角＝ 直角＝ ,1° ＝ ,1′ ＝ .

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第 4 章 基本图形（一）

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Presentation Transcript

  1. 第4章 基本图形（一）

  2. 第17课　线段、角、相交线和平行线

  3. 基础知识 自主学习 要点梳理 • 1. 线段沿着一个方向无限延长就成为；线段向两方无限延长就成为；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． • 2. 直线的基本性质：． • 线段的基本性质：，连结两点的，叫做两点之间的距离． • 3．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． • (1)1周角＝平角＝直角＝,1°＝,1′＝. • (2)小于直角的角叫做；大于直角而小于平角的角叫做；度数是90°的角叫做． 射线 直线 两点确定一条直线 两点之间线段最短 线段的长度 2 4 360° 60′ 60″ 锐角 钝角 直角

  4. 互为余角 • 4. 两个角的和等于90°时，称这两个角，同角(或等角)的余角相等． • 两个角的和等于180°时，称这两个角，同角(或等角)的补角相等． • 5. 角平分线和线段中垂线的性质：角平分线上的点到． • 线段中垂线上的点到线段． • 到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上． • 到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上． • 6. 两条直线相交，只有．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角． 互为补角 这个角两边的距离相等 两个端点的距离相等 一个交点 相等

  5. 垂直 垂线 • 7. 两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相，其中的一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做． • 从直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中． • 8. 垂 直 于 一 条 线 段 并 且 平 分 这 条 线 段 的 直 线，叫 做 这 条线段的，也叫线段的中垂线． • 9. 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行． 垂足 垂线段的长度 垂线段最短 垂直平分线

  6. 10. 平行线的判定及性质： • (1)判定： • ①在同一平面内的两条直线叫做平行线； • ②相等，两直线平行； • ③相等，两直线平行； • ④，两直线平行； • ⑤在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行； • ⑥平行于同一直线的两直线平行． • (2)性质： • ①两直线平行，； • ②两直线平行，； • ③两直线平行，． 不相交 同位角 内错角 同旁内角互补 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

  7. [难点正本　疑点清源] • 1．正确理解线段、射线、直线的概念 • 点通常表示一个物体的位置，无大小可言．点动成线，线有弯曲 • 的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两边无限延 • 伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线，射线是直线的一部分，向一方 • 无限延伸，有一个端点，线段也是直线的一部分，有且只有两个端点． • “延伸”和“延长”是两个不同的概念．线段不能延伸，但可以延长； • 直线与射线是可以无限延伸，线段向一方延长的部分，叫做线段的延长 • 线，指定哪个方向延长就是向哪个方向延长；反向延长的部分叫做反向 • 延长线，如延长线段AB即为反向延长线段BA. • 线段的延长线即指线段向一方延长的部分，延长线常画成虚线．线 • 段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺 • 序，以便确定延长方向．注意：一条线段可以延长，但线段的延长线不 • 是原线段的一部分．

  8. 2．理解同一平面内两条直线的相互位置关系 • 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． • “在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不 • 一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线， • 如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行．

  9. 题型分类 深度剖析 题型一　线段的计算 • 【例 1】　已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE：AD. 解　如图，设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x. ∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3. 又AF＝2x＋3x＝5x， ∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5. ∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9. 归纳小结　线在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面： ①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件； ②学会观察图形，找出段之间的关系，列算式或方程来解答．

  10. 题型二　相交线 • 【例 2】　如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD＝42°，则∠AOC＝________. • 答案　48° • 解析　∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°. • ∴∠AOC＋∠EOD＝180°－∠AOE＝90°. • ∵∠EOD＝42°，∴∠AOC＝90°－42°＝48°. • 归纳小结　当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含的“邻补角和对顶角”，以帮助解题． 42°

  11. 知能迁移2(1)(2010·宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是()知能迁移2(1)(2010·宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是() • A．125° B．135° C．145° D．155° • 答案　B • 解析　∵OE⊥AB， • ∴∠EOA＝90°. • ∵∠AOC＝∠BOD＝45°， • ∴∠COE＝∠EOA＋∠AOC＝90°＋45°＝135°.

  12. (2)如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是()(2)如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是() • A．20° B．40° • C．50° D．80° • 答案　C

  13. 题型三　平行线 • 【例 3】(1)如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是() • A．∠3＝∠4 B．∠A＋∠ADC＝180° • C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠5 • 答案　C • 解析　BC、AD被BD所截，当∠1＝∠2时，BC∥AD，应选C.

  14. (2)如图，a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，求∠1＋∠2＋∠3之和．(2)如图，a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，求∠1＋∠2＋∠3之和． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解： 思路一：延长MP交b于Q， 因为a∥b，所以∠1＝∠4， 故∠1＋∠2＋∠3 ＝∠4＋∠2＋∠3， △PQN的三外角之和等于 360°.

  15. 思路二：连接MN，则原∠1被分成∠5、∠6之和，原∠3被分成∠7、∠8之和，又∠5＋∠8＝180°，∠2＋∠6＋∠7＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝(∠6＋∠2＋∠7)＋(∠5＋∠8)＝360°.思路二：连接MN，则原∠1被分成∠5、∠6之和，原∠3被分成∠7、∠8之和，又∠5＋∠8＝180°，∠2＋∠6＋∠7＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝(∠6＋∠2＋∠7)＋(∠5＋∠8)＝360°.

  16. 归纳小结　本例中集中给出了多种辅助线的作法，以构造平行线 或构造“三线八角”基本图形为主要原则，利用平行线的性质求 角度． • 思路三：过P画c∥a，因为a∥b，所以c∥b，原∠2被分成∠9、∠10之和，因为∠1＋∠9＝180°，∠3＋∠10＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.

  17. 知能迁移3(1)(2011·德州)如图，直线l1∥l2 , ∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于() • A．55° B．60° C．65° D．70° • 答案　C • 解析　如右图，在△ABC中，∠BAC＝∠2＝75°，∠ABC＝∠1＝40°.∴∠3＝180°－∠BAC－∠ABC＝65°.

  18. (2)如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是()(2)如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是() • A．75°B．65° • C．55°D．50° • 答案　B • 解析　如图，过点B画，c∥a. • ∵a∥b， • ∴b∥c. • ∴∠1＋∠4＝180°， • ∠2＋∠5＝180°， • ∴∠4＝75°，∠5＝40°， • ∴∠3＝180°－∠4－∠5＝65°

  19. 题型四　与直线交点个数有关的探究问题

  20. 归纳小结　此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化归纳小结　此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化 规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些 问题会有所帮助．

  21. 知能迁移4(1)(2011·柳州)如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是()知能迁移4(1)(2011·柳州)如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是() • A．1条 B．2条 • C．3条 D．4条 • 答案　C • 解析　有三条线段AB、AC、BC.

  22. (2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？(2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？

  23. 基础自测 • 1．(2011·桂林)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是() 答案　B 解析　在B图中，∠1、∠2有相同的顶点，且角的两边互为反向延长线，∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2.

  24. 2．(2011·茂名)如图，已知AB∥CD, 则图中与∠1互补的角有() • A．2个 　　　B．3 个 C．4个 　　　D．5个 答案　A 解析　∵AB∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°.又∴∠CFD＝180°，∴∠1＋∠EFD＝180°，所以与∠1互补的角有∠AEF、∠EFD共2个．

  25. 3．(2011·金华)如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是()3．(2011·金华)如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是() • A．30° B．25° C．20° D．15° 答案　B 解析　∴AB∥CD， 又∠3＋∠2＝45°， ∴∠3＝∠1＝20°， ∴∠2＝45°－∠3 ＝45°－20°＝25°.

  26. 4．(2011·绍兴)如图，已知AB//CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°，则∠BED的度数是()4．(2011·绍兴)如图，已知AB//CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°，则∠BED的度数是() • A．17° B．34° • C．56° D．68° • 答案　D • 解析　∵AB∥CD， • ∴∠C＝∠ABC＝34°， • ∠BED＝∠ABE. • 又∵BC平分∠ABE， • ∴∠ABE＝2∠ABC＝2×34°＝68°， • ∴∠BED＝68°.

  27. 5．(2011·黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为()5．(2011·黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为() • A．5 B．6 C．7 D．8 • 答案　C

  28. 易错警示 13．因概念理解不清，造成角的计算错误

  29. 剖析　若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求其他角的度数，因为给出度数的角∠DOE不能运用角平分线，也不知∠DOE与其他角的任何关系，因此∠DOE＝72°，这个条件用不上，那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法，当某个量不知道或不好表示时，我们常用未知数把这个量设出来，其他的量也都可以用这个未知数表示出来，再列出方程解出这个未知数．当然，未知数的设法有多种．剖析　若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求其他角的度数，因为给出度数的角∠DOE不能运用角平分线，也不知∠DOE与其他角的任何关系，因此∠DOE＝72°，这个条件用不上，那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法，当某个量不知道或不好表示时，我们常用未知数把这个量设出来，其他的量也都可以用这个未知数表示出来，再列出方程解出这个未知数．当然，未知数的设法有多种．

  30. 批阅笔记　本题采用间接设未知数的方法，设∠AOD＝x，则可知∠DOB＝x，∠BOE＝72°－x，∠EOC＝2×(72°－x)，最后利用∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°这个等量关系列出方程解出x的值，利用方程的思想方法来解题，用代数的方法来解决几何问题.

  31. 思想方法 感悟提高 • 方法与技巧 • 1. 掌握平面几何的基本概念，正确理解平面几何的基本内容和方 • 法，是学好平面几何的第一步． • 2. 重视名词的定义，抓住概念的本质，养成结合图形理解概念的 • 习惯． • 3. 一个概念要有一个名词或一个词组来表示．说明一个名词的含 • 义，使各名词互不混淆的语句，叫做名词的定义．例如：角的定义是有 • 公共端点的两条射线组成的图形．显然，在定义的语句中，必须使用另 • 外的一些名词．以角的定义为例，就使用了“端点”、“射线”、“图形”等 • 名词，而定义这些名词，就需要另外一些名词，这样就必然有一些名词 • 无法被定义．这些无法被定义的名词，应是人们在日常生活中所熟悉 • 的，因而容易区分，也是不需要定义的，如体、面、线、点等，都是不 • 需要定义的名词．

  32. 4. 定义是推理、论证的依据之一，应在准确理解的基础上熟 • 记，想象出它所刻画的图形情景，不要死记语句． • 5. 公理、定理，都是在它的题设条件下，一定可以得到它所 • 指出的结论的命题，因而是真命题．平面几何的许多定理，还必 • 须满足一个形式上并未写出的条件——在同一平面内，否则，结 • 论就不成立．如“垂直于同一直线的两直线平行”，必须在同一平 • 面内才成立，等等．在学习平面几何阶段，都是指在同一平面 • 内．

  33. 失误与防范 • 1．计算直线条数、线段条数或角的个数等题目，一方面考 • 查了对几何概念的准确掌握，另一方面也考查了思维的严密 • 性．数数问题的关键是把问题分为不重不漏的有限种情况，一一 • 列举出各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的． • 例如：平面内三条直线可以把平面分成几部分？ • 分析与解：这道题的答案取决于三条直线的位置关系，如图：

  34. 第一种是三条直线没有交点，可将平面分成4部分；第二种是第一种是三条直线没有交点，可将平面分成4部分；第二种是 • 三条直线交于一点，可将平面分成6部分；第三种是三条 • 直线有两个交点，可将平面分成6部分；第四种是三条直线两 • 两相交，有三个交点，可将平面分成7部分． • 在几何问题中，如果不善于将问题进行全面讨论、合理分类， • 做到不重不漏，就很难得到完整的答案，导致“漏解”的错误． • 2．几何学的突出特点之一就是逻辑推理方法的运用，利用推 • 理的方法得出结论．学习推理应注重以下两个方面：一是要对问题 • 进行清晰的分析，这是解题的关键；二是在推理过程中，推理的每 • 一步都必须有科学依据．

  35. 完成考点跟踪训练20

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