제 5 장 이산확률분포

1. 제5장 이산확률분포

2. 확률변수 확률변수 (random variable) 결과에 따라 다수의 상이한 값을 가질 수는 있으나 그 결과가 나오기 전에는 실제 값을 알 수 없는 변수 일반적으로 로 표기함 정량적 변수는 이산확률변수(discrete random variable)와 연속확률변수(continuous random variable)로 구분할 수 있음 확률분포도 이산확률분포(discrete probability distribution)와 연속확률분포(continuous probability distribution)로 구분할 수 있음

3. 이산확률분포 이산확률분포 (discrete probability distribution) 이산확률변수 X가 취할 수 있는 모든 값 와 그 발생확률 을 도수분포표 형식으로 나열한 것

4. 이산확률분포의 구분 모든 가능성을 모두 나열하여 구할 수 있는 확률분포 (ex) 동전을 3번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포 주사위 2개 던져 나오는 눈금의 합의 확률분포 전문가의 경험으로부터 구할 수 있는 확률분포 (ex) K프로젝트를 마치는데 소요되는 예상기간 내년도 시장수익률 이론적인 확률분포 (ex) 이항분포 포아송분포 초기하분포

5. 동전을 3번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포 동전을 3번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포 H = 앞면, T = 뒷면 (1) H H H (2) H H T (3) H T H (4) T H H (5) H T T (6) T H T (7) T T H (8) T T T

6. 동전을 3번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포

7. 내년도 시장수익률의 확률분포 투자자 A씨는 내년의 시장수익률을 분석하려고 한다. 시장수익률(market return)은 투자한 자금으로부터 얻은 연간이득(또는 손실)의 백분율을 의미한다. A씨는 내년의 국가경제가 다음과 같은 다섯 가지 시나리오 중 하나가 될 것으로 믿고 있다. 1) rapid expansion, 2) moderate expansion, 3) no growth, 4) moderate contraction, 5) serious contraction A씨는 각 시나리오에서의 시장수익률을 0.23, 0.18, 0.15, 0.09, 0.03으로 추정하였다. A씨는 내년의 국가경제에 대한 시나리오의 발생확률을 각각 0.12, 0.40, 0.25, 0.15, 0.08으로 평가하였다.

8. 내년도 시장수익률의 확률분포 Rapid expansion Moderate expansion No growth Moderate contraction Serious contraction 0.23 0.18 0.15 0.09 0.03 0.12 0.40 0.25 0.15 0.08

9. 이산확률분포의 특성

10. 기대값 기대값 (expected value) 확률변수의 값과 그 발생확률의 곱의 합 발생확률 확률변수의 값

11. 분산 / 표준편차 분산 (variance) 표준편차 (standard deviation)

12. 예제 5.1 K 프로젝트를 마치는 데 소요되는 예상기간과 확률이 다음과 같을 때 프로젝트 소요기간의 기대값, 분산 및 표준편차를 구하시오.

13. 이산확률변수 선형함수의 기대값 / 분산 / 표준편차 이산확률변수 X와 Y가 다음과 같은 선형관계를 가진다고 하면 기대값 기대값 분산 표준편차

14. 예제 5.2 H사의 영업사원 모집공고에 입사 1년차 월급은 기본급 500,000원과 판매수량 당 100,000원의 실적급이라고 제시되어 있다. 1년차 사원들의 월 판매 수량과 확률은 다음과 같다. • 1년차 영업사원의 월 판매수량의 기대값, 분산 및 • 표준편차를 구하시오. 2) 1년차 영업사원의 월급의 기대값, 분산 및 표준편차를 구하시오.

15. 예제 5.4 항공사 초과예약 K항공사는 미주노선 이코노미 좌석 180석에 대하여 20석을 초과하여 200석의 예약을 접수하고 있다. 과거의 자료를 검토한 결과 예약자 중 실제로 탑승하는 사람은 88%, 탑승하지 않는 사람은 12% 로 나타났다. 예약은 완료되고, 예약자의 탑승여부는 각각 독립적으로 이루어진다고 가정하고 할 경우 다음을 구하시오. 1) 실제 탑승자 수가 정확하게 180명 확률  빈좌석 없이 항공기가 이륙할 확률 2) 실제 탑승자 수가 좌석 수를 초과하지 않을 확률. 3) 실제 탑승자 수가 좌석 수를 초과할 확률.

16. 베르누이 시행 베르누이시행(Bernoulli trial) 발생가능한 결과(단순사상)가 두 개 뿐인 시행 [예] “성공”과 “실패” “양품”과 “불량품” “예”와 “아니오”

17. 1 1 2 2 3 3 n n … … 이항분포를 따르는 확률변수 이항분포를 따르는 확률변수 성공확률이 p인 베르누이시행을 n회 독립적으로 시행하였을 때의 성공회수 [예] P산업에서 보유하고 있는 5대의 기계가 하루에 고장이 발생할 확률이 각각 0.1이고 상호독립적일 때 특정일에 고장인 기계대수 첫번째 기계 5번째 기계

18. 1 2 3 n … [예] 6개중 하나를 택하는 객관식 문제가 20문항이 있는 시험에서 임의로 답을 적을 경우 정답을 적은 문항의 수 첫번째 문항 20번째 문항

19. 이항분포의 모수 n : 베르누이시행의 수행회수, n = 1, 2, 3, … p : 베르누이시행의 성공확률, 모수가 n, p인 이항분포를 따르는 확률변수 X [질문] 이항분포를 따르는 확률변수 X가 취할 수 있는 가장 작은값은? 이항분포를 따르는 확률변수 X가 취할 수 있는 가장 큰값은?

20. 이항분포의 확률함수 일 때 의 확률함수는 여기서 는 이항계수(binomial coefficient)로 이면 오른쪽 꼬리(right skewed)분포 이면 왼쪽 꼬리(left skewed)분포 이면 좌우대칭분포

21. 이항분포의 기대값/분산/표준편차

22. 이항분포의 확률계산 이항분포표 binomdist함수

23. 이항분포표

24. binomdist함수

25. 이항분포 Example K산업에서는 납품되는 메리리 칩 1,000개들이 상자에서 20개를 표본 조사하여 3개 이상의 불량품이 발견되면 그 상자는 반품한다고 할 경우 불량품의 비율이 10%일 때 반품되지 않을 확률은?

26. 예제 5.5 A/S센터 E전자 A/S센터에 하루 평균 10건의 A/S를 요청하는 전화가 접수되고 있으며 접수된 건은 모두 다음 날에 서비스를 제공하는 것을 원칙으로 하고 있다. A/S 접수 건이 포아송분포를 이룬다고 할 때 다음을 구하시오. 1) 어느 날에 11건 이상이 접수될 확률. 2) A/S 요원 1명이 하루 5건을 처리할 수 있다. 1개월에 A/S 요원이 3명 이상이 필요한 날의 수 (1달 근무일 20일로 가정)

27. 포아송분포를 따르는 확률변수 베르누이 시행의 특성을 갖추고 주어진 (시간, 거리, 공간의) 단위구간에서 관심대상이 되는 결과(사상)의 발생확률이 아주 작을 경우 관심대상의 발생횟수

28. … … 포아송분포의 모수 : 포아송분포의 기대값, 이 값은 이항분포의 기대값 와 같다. 단위구간에서 발생한 사상의 평균 건수 단위구간 사상이 발생하는 현상을 관찰 0 1 0 2 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 단위구간에서 발생한 사상의 평균 건수를 계산 [예] 은행지점 오전에 1분당 평균 0.5명의 고객이 도착 (명/분)

29. 포아송분포를 따르는 확률변수 X가 취할 수 있는 가장 작은값은? [질문] 포아송분포를 따르는 확률변수 X가 취할 수 있는 가장 큰값은? 포아송분포의 확률함수 기대값 / 분산 / 표준편차

30. 포아송분포표

31. poisson함수

32. 포아송분포 Example K자동차의 보증기간은 3년 30,000km이다. 보증기간 내에 보증수리 요청 회수는 1대당 평균 3회로 포아송분포를 이룬다. 특정 자동차 한 대가 보증기간 내에 보증수리 요청이 없을 확률은?

33. 포아송분포 Example J기업이 관리하고 있는 어느 초고층 빌딩의 전등은 하루에 평균 200개 파손되며 포아송분포를 이루고 있다. 한달에 180개 이하가 파손되는 날 수는? (한달 30일 기준)

34. 예제 5.6 S사는 불량률이 20%인 제품을 생산 후 전수검사로 품질을 검사하여 하자가 없는 제품을 협력업체에 공급하고 있다. 가끔 품질검사를 하지 못한 제품을 급하게 공급해야 하는 경우에는 불량품 수를 고려하여 구매자가 필요로 하는 수량보다 많은 양을 공급한다. 어느 날 거래 업체인 K사가 25개를 요청하여 창고에 있는 품질검사를 하지 않은 제품 50개 중 32개를 공급하였다. 다음을 구하시오. 공급한 32개 중 정품인 수가 K사가 요청한 수 25개를 충족할 확률.

35. 초기하분포 초기하분포(hypergeometric distribution)를 따르는 확률변수 A상태인 것이 a개, A상태가 아닌 것이 b개 들어 있는 전체 N(=a+b)개 중 n개를 임의로 추출한 표본 중에서 관심의 대상인 A상태에 있는 것의 수 X 상태 [예] 빨간 공 6개와 하얀 공 4개가 있는 상자에서 5개를 무작위로 뽑을 때 하얀 공의 수 100개 중 10개가 불량품인 제품에서 10개를 뽑을 때 불량품의 수

36. 초기하분포의 모수 : 전체의 개수 : A상태에 있는 것의 개수 : 표본으로 추출한 것의 개수 모수가 인 초기하분포를 따르는 확률변수

37. 초기하분포의 확률함수