Kapitel 20 Mehrgleichungs- Modelle: Konzepte

1. Kapitel 20Mehrgleichungs-Modelle: Konzepte

2. Mehrgleichungs-Modelle Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere endogene Variable betreffen Beispiele: • Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren • Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt, etc., die in Wechselwirkung stehen

3. CAP-Modell CAP-Modell (capital asset pricing model) Ri: Erlös des i-ten Vermögenswertes Ri - Rf = bi(E{Rm} – Rf) + ui mit Rf: Erlös eines risikolosen Vermögenswertes E{Rm}: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios Analyse von mehreren Werten: ui repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame Abhängigkeitsstruktur Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse

4. Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = b1 + b2F + b3C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954

5. Marktmodell für ein Produkt, z.B. Schweinefleisch Qd = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion) Qs = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion) Qd = Qs mit Qd: Nachfragemenge, Qs: Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y: Einkommen, Z: Kosten der Produktion oder Q = a1 + a2P + a3Y + u1 Q = b1 + b2P + b3Z + u2 Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z

6. Klein‘s Modell 1 Ct = a1 + a2Pt + a3Pt-1 + a4(Wtp+ Wtg) + ut1 (Konsum) It = b1 + b2Pt + b3Pt-1 + b4Kt-1 + ut2 (Investitionen) Wtp = g1 + g2Xt + g3Xt-1 + g4t + ut3 (PrivateLöhneundGehälter) Xt = Ct+ It + Gt Kt = It+ Kt-1 Pt = Xt–Wtp–Tt C (Konsumausgaben), P (Gewinne), Wp (Private Löhne und Gehälter), Wg (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K-1 (Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t [Zeit (Trend)] Endogen: C, I, Wp, X, P, K; exogene: 1, Wg, G, T, t, P-1, K-1,X-1

7. Typen von Mehrgleichungs-Modellen • Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren (multivariates Regressionsmodell) • Nachfrage nach Gütern durch Haushalte • capital asset pricing model • Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld-Griliches • Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen) Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle) • Marktmodell • Klein’s Modell Kontemporär korrelierte Störgrößen

8. Typen von Gleichungen Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden Variablen Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe anderer Variabler Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als Gleichgewicht interpretiert werden können Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen enthalten keine Störgrößen!

9. Schätzprobleme Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit • Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als Regressoren verwendet • Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen sind nicht voneinander unabhängig Konsequenzen: • OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht erwartungstreu!

10. Zweigleichungs-Modell Zwei abhängige Variable Y1 und Y2 Y1 = a1 + a2Y2 + a3X1 + u1 (Gleichung A) Y2 = b1 + b2Y1 + b3X2 + u2 (Gleichung B) • Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt eines positiven Wertes u1: • Wert von Y1 wird vergrößert (siehe Gleichung A) • Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y2 größer wird • Daraus folgt: u1 und Y2 sind korrelierte Variablen • Verzerrte OLS-Schätzer: • Überdurchschnittlich große Werte von Y1 werden oft (als Folge positiver u1) gemeinsam mit großen Werten von Y2 beobachtet • a2 wird überschätzt!

11. Marktmodell: Eine Simulation Mit a2 = – 1, b2 = 1, a3 = 1, b3 = 1 ergeben sich (siehe oben): Q = –P + Y + u1 (Nachfrage) Q = P + Z + u2 (Angebot) Generieren der Daten in EViews: Y = 20 + 10*nrnd Z = 10 + 10*rnd u1~ N(0,4), u2~ N(0,9) Q = (Y + Z + u1 + u2 )/2, P = (Y–Z + u1 – u2)/2 OLS-Schätzung der beiden Gleichungen: Q = 2.98 – 0.58*P + 0.80*Y; p(tP) = 0.037, p(tY) = 0.000, R2 = 0.84 Q = 3.52 + 0.77*P + 0.86*Z; p(tP) = 0.000, p(tY) = 0.000, R2 = 0.83

12. Marktmodell, Forts. Nachfragefunktion Q = a1 + a2P + a3Y + u1 = x‘a + u1 mit x = (1, P, Y)‘, a= (a1, a2, a3)‘ Achtung! Endogene VariableP ist erklärende Variable: plim (X'X)-1X'u≠ 0 Reduzierte Form: Q = p11 + p12Y + p13Z + v1 P = p21 + p22Y + p23Z + v2 mit p11 = (a1 b2–a2 b1)/(b2– a2), v1 = (b2 u1–a2 u2)/(b2– a2), etc. Die pij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern für pij auf Schätzer der ai und bi schließen?

13. Schätzprobleme, Forts. Zwei Fragestellungen: • Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt werden? • Schätzverfahren: Welche – (neue?) – Schätzmethoden können bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind?

14. Typen von Variablen Endogene Variable: • Werden durch das Modell bestimmt • Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die Anzahl der endogenen Variablen Exogene Variable: • Sind von außerhalb des Modells bestimmt • Können auch verzögerte endogene („vorherbestimmte“, predetermined) Variable sein • Wir unterscheiden: • Strikt exogeneVariable: unkorreliert mit historischen, aktuellen und künftigen Störgrößen • vorherbestimmteVariable: unkorreliert mit aktuellen und künftigen Störgrößen

15. Marktmodell, Forts. Zwei Gleichungen: Q = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion) Q = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion) bestimmen Q und P (endogene Variable) außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z Offene Fragen: • Rückkoppelung zwischen Q und Y? • Z unabhängig von Q?

16. SUR-Modell seemingly unrelated regression allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells m Gleichungen Yt1 = x‘t1b1 + ut1 … Ytm = x‘tmbm + utm mit Var{uti} = si2 für i = 1,…,m; Cov{uti,utj} = sij≠ 0 für i ≠ j , i,j = 1,…,m (kontemporär korrelierte Störgrößen) Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren: xti = xt für i = 1,…,m Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell)

17. Investitionsmodell, Forts. I = b1 + b2F + b3C + u I: Investitionen F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode General Motors: I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78 Chrysler: I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28 General Electric: I = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88 Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur!

18. SUR-Modell, Notation m = 2 • mit n-Vektoren yi, ui, (nxki)-Matrix Xi: yi = Xibi + ui, i = 1, 2 Var{uti} = si2, Cov{ut1,ut2} = s12, t = 1,…,n • mit 2n-Vektoren oder mit

19. Kronecker-Produkt Definition: Ordnung: npxmq

20. Interdependente Mehrgleichungs-Modelle Strukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie. Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen Koeffizienten der • Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der ökonomischen Theorie • Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf abhängige Variable an

21. Marktmodell, Forts. Strukturform Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion) Qt = b1 + b2Pt + b3Zt + ut2 (Angebotsfunktion) ut = (ut1,ut2)‘: bivariates Weißes Rauschen Matrixnotation: Ayt = Gzt + ut mit yt = (Qt, Pt)‘, zt = (1, Yt, Zt)‘

22. Marktmodell, Forts. Reduzierte Form yt = A-1Gzt + A-1ut = Pzt + vt mit In Langform:Qt = p11 + p12Yt + p13Zt + vt1 Pt = p21 + p21Yt + p23Zt + vt2

23. Strukturform m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren: Ayt = Gzt + ut mit m-Vektoren yt und ut, K-Vektor zt, (mxm)-Matrix A, und (mxK)-Matrix G Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A, G, S) Strukturparameter: Elemente von A und G Normalisierte Matrix A: aii = 1 für alle i Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und invertierbar Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung

24. Identifizierbarkeit Fragestellung: • Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet werden? • Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen Variablen bestimmt werden?

25. Marktmodell, Forts. Aus p13 = – a2b3/(b2 – a2) und p23 = – b3/(b2 – a2) ergibt sich a2 = p13/p23 als Schätzer für a2 aus den OLS-Schätzern p13 und p23 für p13 und p23 b2 = p12/p22 für b2 aus p12 und p22 für p12 und p22 Weiters ergeben sich a3 = p22(b2 – a2), a1 = p11 – p21a2; die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise aus den konsistenten Schätzern der pij bestimmen; die Nachfragefunktion ist identifizierbar Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion b3 = – p23(b2 – a2), b1 = p11 – p21b2; auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar

26. Modifiziertes Marktmodell Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion) Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion) Koeffizienten der reduzierten Form: p11 = (a1b2 – a2b1)/(b2 – a2), p12 = a3b2/(b2 – a2) p21 = (a1– b1)/(b2 – a2), p22 = a3/(b2 – a2) • Angebotsfunktion: b2 = p12/p22, b1 = p11 – p21b2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar • Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei Gleichungen a1 = p11 – p21a2, a3 = p22(b2 – a2) es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht identifizierbar; sie ist unteridentifiziert

27. Noch ein Marktmodell Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + a3Zt + ut1 (Nachfragefunktion) Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion) • Angebotsfunktion: b2 = p12/p22, b2 = p13/p23 für beide Lösungen ergibt sich b1 = p11 – p21b2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die Angebotsfunktion ist überidentifiziert • Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert

28. Identifizierbarkeit: Kriterien Identifizierbarkeit einer Gleichung bedeutet, dass • eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung ausgeschlossen sind („ Nullrestriktionen“) • oder eine andere Restriktion zutrifft • Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert, z.B. den Wert Null • Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear • Restriktion für Elemente von S Überprüfen der Nullrestriktionen • Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung • Rang-Bedingung

29. Ordnungs-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ayt = Gzt + ut mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix G i-te Gleichung: • mi: Anzahl der erklärenden endogenen Variablen • mi*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen endogenen Variablen (mi* = m–mi– 1) • Ki*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen vorherbestimmte Variablen (Ki* = K–Ki) Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi

30. Ordnungs-Bedingung: Interpretation Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi d.h., wenn • die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (Ki* + mi*) mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der endogenen Variablen (m – 1) • die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen (Ki*) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden endogenen Variablen (mi) Achtung! Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Identifizierbarkeit einer Gleichung

31. Modifiziertes Marktmodell, Forts. Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion) Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion) m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y); • Nachfragefunktion (i = 1): m1* = 0, m1 = 1, K1* = 0, K1 = 2 die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K1* = 0 <m1 = 1 (oder K1* + m1* = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert • Angebotsfunktion (i = 2): m2* = 0, m2 = 1, K2* = 1, K2 = 1 die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K2* = 1 =m2 = 1 (oder K2* + m2* = 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist identifizierbar

32. Rang-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ayt = Gzt + ut mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix G i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile ergibt • A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben • G*: durch Streichen aller Spalten in G, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn r(A*|G*) ≥ m – 1

33. IS-LM-Modell Ct = g11 – a14Yt + ut1 C: Konsum; I: Investitionen, R: Zins- It = g21 – a23Rt + ut2 satz, Y: Einkommen, M: Geldmenge, Rt = – a34Yt + g32Mt + ut3Z: autonome Ausgaben Yt = Ct + It + Zt endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z Erste Gleichung: • Ordnungs-Bedingung: K1 = 2 = m1 = 2; • Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1 Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar

34. Praxis der Idenfizierbarkeits-prüfung • Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner Gleichungen identifizierbar ist • Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen meist auch die Rang-Bedingung • Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar; bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele vorherbestimmten Variable) • Soll ein Regressor eliminiert werden? • Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar • Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer Gleichungen zur Folge haben • Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable verwendet wird