5.5 正弦函数的性质和图象

1. y 1 o x -1 5.5正弦函数的性质和图象 授课人: 石家庄市三职专 梁然

2. 学习目标 知识回顾 知识探索：正弦的性质 图象与画法 知识应用

3. 学习目标 1、通过分析正弦函数的性质，画出图象。 2、理解正弦函数的定义域、奇偶性、单调性、 周期性，并会简单的应用，解决相关问题。 3、会用“五点法”画正弦函数的图象。

4. 想一想：怎样画出正弦函数f(x)=sinx的图象 ？ 知识回顾 前几节课我们学习了三角函数的概念及诱导 公式。下面请同学回忆一下： 1、三角函数的几何意义。 2、角α+2kπ与角α的终边有什么关系。 3、关于-α与α的诱导公式。

5. 正弦函数的性质 分析： 由诱导公式（1）：sin（x+2π）= sinx sin ( x-2π）= sinx 周期性： 想一想：自变量x每增加或减少多少，正弦函数值不变？ 自变量x每增加或减少2π，正弦函数值不变。 我们把2π称为f(x)=sinx的一个“周期”

6. 由诱导公式（4）得: 正弦函数的性质 分析： 奇偶性 ： 奇函数 f(x)=sinx在（-∞，+∞）是 ________

7. 设角 的终边与单位圆交于p(x,y),则sin =y y 1 当 从0逐渐增大到 ,sin P(x,y) 当 从 逐渐增大到 ,sin o 1 x f(x)=sin(x) 在 上是 在 上是 正弦函数的性质 从0逐渐增大到1 从1逐渐减小到0 增函数 减函数

8. 周期性 要画 的图象 只要先画 y=sinx 在_______ 的图象 奇偶性 只要先画 y=sinx 在 _______ 的图象 正弦函数的图象 由以上的性质可知：

9. 1 0 y 1 0 x 正弦函数的图象 0 0 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线

10. y 1 y=sinx x[0,] o y=sinx x[-π,π] x y 1 o x  4 5 - 2 3 6 -2 -4 -3 -1 正弦函数的图象 正弦曲线 y=sinx x(-∞，+∞) y=sinx x[-π,π]

11. 评注： 1）、 定义域是________； 2）、值域是_________； 3）、最小正周期是_________； 4）、在（-∞，+∞）上是__________，图象关于____________； 5）、在 上是_________，在 上是__________。 6）、在 处达到__________，在 处达到 ______________(k∈z) 一）正弦函数f(x)=sinx的主要性质： R [-1，1] 2π 原点对称 奇函数 增函数 减函数 最大值1 最小值-1

12. 评注： 二）、一般地，对于定义域为A的y=f(x),如果存在一 个常数T≠0，使得对于每一个x∈A,都有x±T∈A，且 f(x+T)=f(x) 则把T叫做函数f(x)的一个周期，称y=f(x)是周期函数。 如果在所有的正周期中，存在一个最小的数，则把它称 为f(x)的“最小正周期”。

13. 评注： y 1 o ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1) x -1 ( 2 ,0) ( ,0) (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) ( ,1) ( ,1) ( ,-1) ( ,-1) ( ,-1) ( ,-1) ( ,-1) ( ,1) ( ,1) (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) ( 2 ,0) ( ,0) (0,0) ( 2 ,0) ( ,0) (0,0) 如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？ ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) 五点法——

14. 解： 1）因为 并且f(x)=sinx在 上是增函数，所以 2）因为 并且f(x)=sinx在 上是减函数，所以 例题分析 例1比较下列各组正弦值的大小： 分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。

15. 例2 求函数 在x取何值时到达 最大值？在x取何值是到达最小值？ 关键点：把 看作一个整体。 解； 在 处到达最大值1。 即，当 时， 达到最大值1。 在 处达到最小值-1。 即，当 时， 达到最小值-1。

16. 解：根据诱导公式（1）得 sin（2x+2 ）=sin2x x R 即 sin2(x+ )=sin2x x R 也就是 f(x+ )=f(x) x R 因此，是f(x)=sin2x的最小正周期。 例3 求函数f(x)=sin2x的最小正周期。 分析：本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的 最小正数。 思考：你能寻找到求正弦函数周期的规律么？

17. 练习 1、比较下列各组正弦值的大小： 2、求下列函数在x取何值时到最大值？在x取何值是到达最小值？ 3、求函数f(x)=sin2x的最小正周期？ (1) f(x)=2sinx (2) g(x)=1+sinx

18. y 1 o x -1 课堂小结 1. 正弦曲线——五点作图法 2.正弦函数的6个性质。 y=sinx，x[0, 2]

19. 作业： 课本（必作） A组 1、2），4） ； 2、3），4）； B组 3、1），3） （选作） B组 2；3、2），4） 4、1） 思考题：如何得到余弦函数的图象及性质。

20. 下节课再见