第四章 实数的连续性

1. 第四章 实数的连续性 掌握描述实数连续性的六个定理:闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点原理,致密性定理,(anchy准则)解一致连续的概念,掌握闭区间上连续函数性质的证明.掌握上下确界的概念. 难点: 六个定理及其证明; 重点:六个定理及上、下确界的概念; 课时：10学时.

2. §4.2闭区间连续函数性质的证明 上节课我们讲了闭区间连续函数的性质，有界性，最值性和零点定理这 节课我们引入一个新概念“一致连续性”并证明闭区间的连续函数必是一 致连续

3. 二、一致连续性 设函数 在区间 连续函数 在连续，根据连续定义 有 无限多个 ， 也有无限多个 那么在无限多个 中是否存在最小的正数 呢？ 换句话说，对无限多个 是否存在一个通用的 （即 有 ）呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的不存在通用的 ，有的则存在 .

4. 上有定义若 设函数 在区间 有 称函数 一致连续（或均匀连续） 在 根据一致连续定义，若函数 在 一致连续，则函数 在必连续一致连续与非一致连续对比

5. 例一 证明：函数 在 一致连续，在 非一致连续 证： 成立， 从不等式子 解得 取 于是: 有 有:

6. 即函数 在 非一致连续 例二 证明：函数 在R一致连续 证： 要使不等式 成立， 取 于是 ， 有 即函数 在 一致连续

7. Th4.(一致连续性)。若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 一致连续 分析：应用反证法与致密性定理 假设 在 非一致连续，即： 。有： 取 有 有 有

8. 这样在闭区间 内构造两个数列 与 根据致密性定理，数列 存在收敛的数列 设 因为 所以也有 一方面：已知函数在连续，有： 即当充分大时，有 另一方面， 有 矛盾，即函数在闭区间 一致连续 作业：