§ 2. 1 - § 2.2

1. 《近世代数》精品课程 § 2.1- § 2.2 第二章 群论 目的与要求: ◆理解半群与么半群的定义以及左,右单位元,左,右逆元的性质. ◆掌握群的等价定义以及元素阶的性质.

2. 定义2.1.1 设(,)为一个带有二元运算 的集合.若运算 满足结合律,则称 关于 是一个半群，记为（ ，） 或简称 为一个半群 . 《近世代数》精品课程 §2.1 半群与幺半群 注: 1 半群即为带有一个可结合的二元代数运算的集合,具 体地记,半群即为一个集合,此集合中任意两个元素可 以进行某种运算,运算的结果满足封闭性和结合律.

3. 2. 半群中的代数运算 称为乘法,并简记 为 ，称 为 与的积. 定义2.1.2 设Ｍ为一个半群,其运算记为乘法 ,n个 的连乘积称为 的n次幂,记为 ,即 《近世代数》精品课程 . 易证： 但，

4. 《近世代数》精品课程 定义2.1.3 设 为半群. (1) 若存在 使得对 有 则称 为 的一 个左单位元. (2) 若存在 使得对 有 则称 为 的一 个右单位元. (3) 若存在 使得对 有 则称 为 的一个单位元. 注: 单位元一定既为左单位元,又为右单位元. ？ 左单位元是右单位元么？为什么？ 定理2.1.1 (1) 若半群 有左单位元 ,又有右单位元 , 则 ,且为 的单位元; (2) 若半群 中存在单位元,则单位元必唯一. .

5. 《近世代数》精品课程 半群中未必有单位元， 若有单位元则称半群为幺半群 定义2.1.4 设( ,· ) 为一个半群, 若中存在单位元,则称 为一个幺半群,有时记为( ,·, ) . (1) 单子: 无结合律的幺半群. 注: (2) 集合 带有运算 · ,则 为幺半群 (3)( ,·, ) 为幺半群, 规定 定义2.1.5 设 为一个（幺）半群， ，若 关于 中 的运算仍为（幺）半群，则称 为 的子（幺）半群 注: 验证幺半群 的子集 否为子（幺）半群，只需验证

6. 《近世代数》精品课程 定义2.1.6 设 为一个幺半群. 为 的单位元, （1）若存在 使得 则称 是左可逆的, 为 的一个左逆元. （2）若存在 使得 则称 是右可逆的, 为 的一个右逆元. （3） 若存在 使得 则称是可逆的, 为的一个逆元.记为 注: 若 可逆,且为　的逆元,则　一定左,右可逆,且 为　的左,右逆元. 定理2.1. 2设　为一个幺半群 　　若　既有左逆元　 ,又有右逆元　则　　　为　的 　　逆元. 　　若　可逆,则　的逆元唯一.

7. 《近世代数》精品课程 §2. 2　群 定义2.2.1 设 为一个幺半群. 若 中每一元素均可逆, 则称为 一个群(group).运算满足交换律的群称为交 换群或Abel群. 注: (1) 对(幺)半群,也有Abel(幺)半群的概念,即群的Abel性仅对运算而言的. (2) Abel群 的运算通常用“+”表示,并称 为加群.

8. 《近世代数》精品课程 (3) 非空集合，运算封闭且满足结合律 半群 单位元(幺元) 幺半群 运算满足交换律 每一个元素均可逆 群 交换 幺半群 运算满足交换律 每一个元素均可逆 交换群

9. 《近世代数》精品课程 定理2. 2.1设 为一个半群.则下列陈述等价: (1) 是群; (2) 有左单位元,而且 关于这个左单位元 都 是左可逆 ; (3) 有右单位元,而且 关于这个右单位元 都 是右可逆 ; (4) 方程 在 中都有解. 定义2.2.2 若群 所含的元素个数有限,则称是有限群， 否则称为无限群. 一个有限群 所含的元素个数||称 为群 的阶.

10. 《近世代数》精品课程 第一等价定义: 第二等价定义: 乘法封闭; 乘法封闭; 乘法封闭; 第三等价定义: 乘法结合律; 乘法结合律; 乘法结合律; 定理2.2.1(4). 定理2.2.1(3). 定理2.2.1(2).

11. 《近世代数》精品课程 定理2.2.3 群 的运算满足左,右消去律,即 推论.2.2.4在一个群中,方程 在 中均有唯一解 推论.2.2.5设为群, ,则 是的单位元 . 定理2.2.6 (有限群的第四等价定义): 设为一个有限半群,若的运算适合左,右消去律,则为群 注: 有限群 的第四等价定义 “有限”的条件不能去掉. 如 令 运算定义为普通乘法,则 为幺半群,且满足左、右消去律,但不为群.

12. 《近世代数》精品课程 定义2.2.3 设 为群, 是 的单位元，使得 立的最 小正整数 称为元素的阶,记作 或 若这样的 不存在,则称 是无限阶的,记作 或 . . . 注: 为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则 (1) 当 . 的最小正整数 为 (2) (3) 群的阶和元素的阶不是一回事. 元素的阶有如下常见性质： (1)

13. 《近世代数》精品课程 (2) 若 则 (3) 若 则

14. 《近世代数》精品课程 § 2.3- § 2.4 目的与要求: ◆掌握群同态的概念以及性质 ． ◆掌握变换群的定义以及Cayley定理内容和证明.

15. 　　中有单位元 ，设　为　中的单位元，下证　　为 中的单位元: 《近世代数》精品课程 §2.3 群的同态 本节主要讨论同态的概念在群论中的应用 一、群与代数结构之间的比较 定理2.3.1 设 为群，为一个带有乘法运算的非空集合， 若存在　　　　为满同态映射，则 也是一个群 证明： （I）：显然（因为代数运算有封闭性） （II）：由定理1.6.1可知，　中的运算满足结合律.

16. 《近世代数》精品课程 　　　　　则 　　　　　　　　　　则， （Ⅳ） ： 　　　 则 ，s. t. .于是 从而 为 的逆元，即 例 (定理中的 与 不能调换) 设 ，乘法定 义为普通乘法， 为平凡群（i.e. ）. .则 为一个同态满射，但 不是 群，而 是群. 故 为一个群

17. 《近世代数》精品课程 二、群与群的元素之间的比较 定义 2.3.1设 与都是群，是到的映射，若保持 运算，即 则称是 到 的同态. 若 为单射，则称 为单同态. 若 为满射，则称 为满同态，并称 与 同态，记 作 ∽. 若 为双射，则称 为满同构，并称 与同构，记作 . 定理2.3.2 设 是群 到群 的同态. （1）若 是 的单位元，则 是 的单位元； （2） ； （3） 且 .

18. 《近世代数》精品课程 证明： （1）设 为 的单位元，则 由消去律知， . （2） （3）设 ，则 且 注: 若，则 ，逆元、单位元互相对应. 下一节：变换群

19. 《近世代数》精品课程 §2.4 变换群 本节给出一种具体的群，这种群中的元素不是通常所记的数，也未必交换. 这种群是非常重要的，它对众多的群 的本质给出了一个模板.这就是变换群 预备知识： 1.设 是一个非空集合， 的一个变换即为 到 的一个映射，设变换： 为了方便起见，将 记为 . 注意： （仅为一个符号）仅表示 在变换 下的像， 而不是的 次方.

20. 《近世代数》精品课程 • 是一个非空集合, ， • .若在集合 • 上定义运算为映射的合成，即 • 定义 定理2.4.1 设 为一个非空集合，则 (1). 关于变换的乘法是一个幺半群; (2). 关于变换的乘法是群. 由Th.2.4.1知 是一个幺半群，一般地 不一定构成群.那么 的一个子集构成群的必要条件是什么呢？ ？

21. 《近世代数》精品课程 定理2.4.2 假定 的集合 的若干变换作成的集合 (i.e. ),并且 ，若 关于映射的合 成作成一个群,那么只包含 的一一变换 . (i.e. )(设 为集合, 且 , 若 关于映射的合成构成一个群，则 ). 定义2.4.1集合 的若干一一变换关于映射的合成所 规定的乘法构成的一个群成为的一个变换群. (即的子群称为 的变换群.) 一个集合 除 外还有其他的变换群 注: 就为 的一个变换群,有时也称为一一变换群 (即一个变换群即为的一个子群.) 变换群一般情况下不是交换群.

22. 《近世代数》精品课程 定理2.4.3 (Cayley定理) 何一个群均同构于一个变换群. 证明： 设 为一个群, 令 则可易知 为 的一个变换 作: 则易知① 为满同态 ② 为单射,若: ③ 为同态, 即有

23. 《近世代数》精品课程 故 为 到 之间的一个同构.由定理2.3.1知为群.且. 注: 从上述定理的证明中可以得知,该命题对于幺半群也成立,即有:任何一个幺半群均同构与一个变换幺半群. ( 的子幺半群称为的一个变换幺半群) 该命题亦可如下证明: 即:不利用Th.2.3.1,可以直接证明 称为 的左乘变换群或左正则表示群. 该命题亦可利用右乘变换来证明: 其中 称为 的右乘变换群或右正则表示群.

24. 《近世代数》精品课程 § 2.5- § 2.6 目的与要求: ◆掌握置换群的表示以及循环分解. ◆掌握循环群的定义及分类.

25. 《近世代数》精品课程 §2.5置换群 下面主要讨论上一讲中变换群的有限情况 定义2.5.1 (1)一个包含 个元素的有限集合的一个一一 变换称为( 次)置换.一般用 表示. (2) 一个包含 个元素的有限集合的所有置换构 成的群称为 次对称群 ( 体现对称性,全体对称变换构成 的群)用 表示. (3)一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫 做一个置换群.(i.e. 的一个子群). 定理 2.5.1次对称群 的阶是

26. 《近世代数》精品课程 定理2.5.2 每一个有限群都与一个置换群同构. 由上面的定理可得,每个有限群都可以在置换群里找到具体的例子 ？ 那么置换群中的元素形式是怎样的呢？ 设 • 第一种表示符号 一个置换 于是 可以由 来决定.于是将表示为(略去 字母而只记下标)

27. 假设在次置换下 , 其它的保持不动,i.e. 则称是一个 循环置换(或称项循环置换).此时,记 《近世代数》精品课程 注: 该表示方法中,与第一行 个数字的次序无关,例如 一般情况下,第一行都取的次序. • 置换的第二种表示方法(循环置换的记法)

28. 《近世代数》精品课程 注: 1-循环置换即为恒等置换 2-循环置换 也称为对换; 并非所以的置换均为循环置换 如 例 在 中 不是一个循环置换: 事实上,使得每一个元均发生变动， 若 为循环 置换,则一定为一个4-循环置换,但 使得 ，易知:

29. 《近世代数》精品课程 定理2.5.3(置换的第二种表示分解定理)任何一个次 置换都可以表示成为若干个互不相连的(或称为 互不相交的,i.e.无公共数字)循环置换的乘积. 进一步:每个非单位元的置换都能表示为一些不相 交的循环置换之积,且表示法惟一. 在乘积中,恒等置换(1)通常不写. 注: 该定理的证明提供一种用循环置换表示置换的方法. 定理2.5.4当 ,任何一个次置换都可以表成若干个 对换的乘积

30. 《近世代数》精品课程 定理2.5.5(1) 中的全体偶置换构成一个群,成为次交 代群(或次交错群),记为 (2) 下一节：循环群 定义2.5.2 若置换 可以表示成偶数(奇数)个对换的乘积, 则称为偶(奇)置换.

31. 《近世代数》精品课程 §2.6 循环群 定义2.6.1 设G是一个群. , ,则称G由a 生成的循环群,a叫做群G的一个生成元，记G=< a >. 定理2.6.1设为一个循环群,则 具体的说 若 则且 若则为无限群且 定理2.6.2设为一个循环群 若 则有 个生成元: 若则有两个生成元 和 定理2.6.3设为 阶群，则G是循环群G有m阶元.

32. 定理2.6.4设 为一个循环群 . （1）若 则 （2）若 则 事实A ( ):由h=k 易知 ( ):若 即 《近世代数》精品课程 证明： （1）作 ： 为映射

33. ( ): ( ):若 《近世代数》精品课程 故有G≌Z （2）作 ： 事实B 为同态 为单射，由事实A即得知 为满射，显然 为映射 为单射 为满射，显然 因为h –k=qm+r,0<r<m 所以

34. 《近世代数》精品课程 故 存在性 数量问题 注: 上述定理给出了循环群这种代数系统的 构造问题： 作循环群之间的同态， 一般是 为同态 两种

35. 《近世代数》精品课程 § 2.7- § 2.8 目的与要求: ◆掌握子群的定义及判别，并会验证. ◆掌握子群的陪集的概念与计算,学会运用Lagrange定理证明

36. 《近世代数》精品课程 §2.7子群 定义2.7.1 设是 群的一个非空子集，若 对于 的 乘法构成群，则称 为 的子群（subgroup）， 记作. 注: 若对于任意一个群G，都有两个子群：{ e }与G. 这两个子群称为G的平凡子群.若 则称H是G的非平凡子群.若且 ，则称 H是G的一个真子群,记作 . 例

37. 《近世代数》精品课程 命题2.7.1（传递性） 若 命题2.7.2（遗传性） 若 其中 分别表示HG中的单位元, 分别表示 证明： • 判别准则 • 一般地，要验证 不须在通过定义中的4条逐一验证H为一个群

38. 《近世代数》精品课程 定理2.7.3设G为群， 则下列各命题等价 推论2.7.4 注: 两个子群的并未必是子群， 定理2.7.5 （有限子群的判别法则）设G为群，H是G的一 个非空有限子集，则 证明： 又由假设知,在中满足封闭性，即为一个 满足消去律的有限半群,从而是子群. 即

39. 《近世代数》精品课程 • 生成元 • 设G为一个群， 易知子集S未必是G的一个子群，但我们可以由S作出一个子群来. 定义2.7.2设S是群G的一个非空子集，G的所有包含S 的子群的交仍为G的一个子群，称为G的由S生成的 子群，记为< S >. 注: i.e. < S >是G中包含S的唯一的最小的子群. i.e. 可以验证< S >的一个构造性意义为： 当 时，则 为 的一个循 环子群

40. 《近世代数》精品课程 i.e. 任何一个群均为自由群的商群. 推论.2.7.2 阶循环子群 的阶是 的因数. 反之，若 ，则恰有一个 阶子群，从而 的子群个数 等于 的正因子个数 命题2.7.3 循环群的子群仍为循环群. 推论.2.7.1无限循环群 的子群，除单位元子群外，都 是无限循环群，且 的子群的个数是无限的 下一节：子群的陪集 故任何一个群均有生成元集 由此可以导出群的另一种定义：生成元集+关系集

41. 《近世代数》精品课程 §2.8 子群的陪集 群论中的定理分为两类 一 陪集分解 例1 在整数加群(Z,+)中，任意给定一个正整数m，就可以定义一个等价关系. 换一个观点来看： 考虑子集

42. 《近世代数》精品课程 于是上述等价关系可以解释为 将上述思想推广到一般情形 设 ,(H是群G的一个子群),在G中定义个关系： 我们有 故 是一个等价关系. 由此等价关系可以确定群G的一个分类

43. 《近世代数》精品课程 定义2.8.1 设 由上述等价关系所决定的类称 为H的左陪集.包含元素 的左陪集记为 . 定理2.8.1 设 命题2.8.2 设 例2 易证 于是子群H把整个G

44. 定义2.8.1′设 由上述等价关系所决定的类称为H的右陪集.包含元素 的左陪集记为 . 且 定理2.8.1′设 则 《近世代数》精品课程 一般地， 都有 ，——称为关于子群H 的左陪集分解. 假如考虑下列等价关系 则 也是一个等价关系，也决定了 的一个分类. 左、右陪集未必相等，即未必有 （若 是 Abel 群, 则显然 ） 但左、右陪集的个数一定相等. 注:

45. 《近世代数》精品课程 定理2.8.3 设记， 则在和之间存在一一双射，进而 . 证明： 令 则：(1) 故右陪集 的像与 的选择无关， 即 为一个映射. (2) 为满射： 则 (3) 为单射： 故为 到 的一个映射

46. 《近世代数》精品课程 二、（Lagrange）拉格朗日定理 定义2.8.2 设在中的左陪集（或右陪集）的 个数称为 在中的指数.记作 . 证明： 引理2.8.4 设，则在 和之间存在一个 一一映射. 定理2.8.5（Lagrange定理）设是有限群， 则 . 令 ③ ② ① 为映射： 为满射： 为单射： 故 为一一映射

47. 《近世代数》精品课程 证明： 推论2.8.6有限群 的任一元 的阶都是 的因数. 注: 又由引理2.7.4可知. 从而 . • 由Lagrange定理可知，子群 的阶一定整除群 • 的阶； 2. Lagrange定理的逆命题不成立，即对于 的每一 个因子 ，未必有子群 使得 ； 因为 ,故,记，则 推论2.8.7素数阶群为循环群

48. 《近世代数》精品课程 § 2.9- § 2.10 目的与要求: ◆掌握不变子群的概念及判别,理解与商群的关系. ◆掌握同态基本定理的内容与证明，以及满同态与子群的关系,了解群的四大同构定理.

49. 《近世代数》精品课程 §2.9 不变子群与商群 . 定义2.9.1 设 是群 的子群，若对 ，均有 则称 是群 的不变子群或正规子群, 记作 . 一个不变子群 的一个左（或右）陪集统一叫做 的一个陪集. 例1①；② ① ， ② ， 例2交换群 的任何一个子群都是 的正规子群.

50. 例4，则. 《近世代数》精品课程 . 例3设 是群.记 ，可以证明 为 的一个子群，称为群 的中心. ① ② 不变子群的定义中的“ ”是指两个集合相等，而不是指“ ”. ① ② ， 注: