Arithmetic functions and their applications

1. Arithmetic functions and their applications تابع های حسابی و کاربرد آن ها

2. برخی از تابع ها در بررسی مقسوم علیه های عددهای صحیح ، بررسی تام بودن یک عدد ، رمز نگاری و امنیت اطلاعات کامپیوتری اهمیت ویژه ای دارند.که جمله این توابع را در دسته توابعی که به تابع های حسابی موسومند برسی میکنند. از مهمترین آنها میتوان به چهار تابع ذیل اشاره نمود :

3. توابع حسابی مهم 1) تابع τ(n) 2) تابع σ(n) 3) تابع μ(n)( تابع میوی موبیوس ) 4) تابع φ(n)( تابع فی اویلر)

4. تعریف تابع حسابی:هر تابعی که دامنه تعریف آن مجموعه عددهای صحیح مثبت باشد تابعی حسابی یانظریه اعدادی نامیده می شود.

5. گرچه مقدار تابع حسابی لزوما ً عددی صحیح مثبت یا حتی صحیح نیست، بیشتر تابع های حسابی مورد بحث ما تابعهایی با مقدارهای صحیح اند. ازجمله طبیعیترین و آسان ترین آنها از نظر کاربرد،تابعهای تاو و سیگما هستند.

6. تعریف 1-1به ازای هر عدد صحیح مثبت n ، τ(n) نشان دهنده ی تعداد مقسوم علیه های n ، وσ(n) نشان دهنده ی مجموع این مقسوم علیه هاست.

7. به عنوان مثالی از این مفهوم ها ، 12= n را در نظر میگیریم. چون 12 دارای مقسوم علیه های مثبت 1،2،3،4،6،12 است، ملاحظه می کنید که 6 = (12) τوσ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28به ازای چند عدد صحیح مثبت نخست داریم τ(1) = 1 , τ(2) = 2 , τ(3) = 2 , τ(4) = 3 , τ(5) = 2 ,... وσ(1) = 1 , σ(2) = 3 , σ(3) = 4 , σ(4) = 7 , σ(5) = 6 ,… به آسانی میتوان نشان داد که τ(n) = 2اگر وتنها اگر n عددی اول باشد؛همچنین σ(n) = n +1اگروتنها اگرn اول باشد.

8. پیش از بررسی مفصل تر تابع های τ و σ نمادی را معرفی می کنیم که به روشن شدن موضوع در بعضی موارد کمک خواهد کرد. معمولا ً نماد ∑ f (d) d│nبه معنی « مجموع مقدار های f(d) به ازای همه ی مقسوم علیه های مثبت d ی عدد صحیح مثبت n» به کار می رود. به عنوان مثال داریم∑ d│20 f (d) = f(1) + f(2) + f(4) + f(5) + f(10) + f(20)

9. با این قرار داد τوσ را می توان به صورت σ(n) = ∑d│nd , τ(n) = ∑d│n 1 تعریف کرد. مثال: عدد صحیح 10دارای چهار مقسوم علیه مثبت1,2,5,10است بنا بر این τ(10) = ∑d│101 = 1+1+1+1 = 4 σ(10) = ∑d│10 d = 1+2+5+10 = 18

10. برای اثبات قضیه هایی کاربردی در مورد توابع حسابی به قضیه معروف زیر نیاز مندیم. قضیه 1-1: اگر ……prkrn = p1k1 p2k2تجزیه n>1به عامل های اول باشد، آنگاه مقسوم علیه های مثبت n دقیقا ً عدد های صحیح d ای هستند که به صورت d = p1α1p2α2 .....prαr که در آن 0 ≤ αi ≤ ki، ( i = 1,2,…., r ) هستند.

11. برهان 1-1: واضح است که مقسوم علیه d = 1 متناظر باα1= α2 =….= αr = 0و خود n متناظر با , … , α 1= k 1αr= k r است. فرض کنیم dعدد n را بشمارد مثلا ً n = dd' ، کهd >1, d’ >1. هر یک از d,d' را به صورت حاصل ضرب چند عدد اول می نویسیم d' = t 1t 2….t ud = q 1q 2....q s که در آن ها qi ها و t j ها اول اند. در این صورت n = p1k1p2k2 … prk r= q 1q 2....q s t 1t 2….t u دو تجزیه عدد صحیح مثبت n به عامل های اول اند.

12. بنا به یکتایی تجزیه به عامل های اول، هر qi اول باید یکی از p j ها باشد. اگرهر دسته از عامل های اول برابر را در هم ضرب و به صورت یک جمله بنویسیم، به دست می آموریم = p1α1p2α2 .....prαr d = q 1q 2....q sکهبرخی از α i ها ممکن است صفر باشند. به عکس، هر عدد d = p1α1p2α2 .....prαr، ( 0 ≤ αi ≤ k i) ، مقسوم علیهی از n است، زیرا می توانیم بنویسیم n = p1k1p2k2 … prk r = (p1α1p2α2 .....prαr ) ( p1k1-α1 ….. Prkr-αr) =dd' gjhjgjgg

13. اکنون قضیه مهم زیر را اثبات می کنیم. قضیه 1-2 : اگر n = p1k1p2k2 … prk rتجزیه n > 1 به عامل های اول باشد، آنگاه الف) τ (n) = ( k 1 + 1) ( k 2 + 1) …… ( k r + 1) ب) σ (n) = × …. ×

14. برهان 1-2: بنا به قضیه قبل ( 1-1 ) ، مقسوم علیه های مثبت n دقیقا ً عدد های صحیحی چون d = p1α1p2α2 .....prαr هستند که ki0 ≤ αi ≤ . تعداد k 1 + 1 انتخاب برای توان α 1 وجود دارد؛ k 2 + 1 انتخاب برای توان α 2 ، .... ، k r + 1 انتخاب برای α r ؛ پس، n دقیقا ً (k 1 + 1) (k 2 + 1)…. (k r + 1) مقسوم علیه دارد. برای محاسبه σ (n) ، حاصل ضرب (1 + p 1+ p 12 +….+ p 1k1) (1+p2+p22+….+ p2k2) ……(1+ pr + pr2 +…+ prkr)

15. را در نظر میگیریم. هر مقسوم علیه مثبت n دقیقا ً یک بار به صورت جمله ای از بسط این حاصل ضرب ظاهر می شود، در نتیجه σ (n) = (1 + p 1+ p 12 +….+ p 1k1) ……(1+ pr + pr2 +…+ prkr) با به کار بردن فرمول مجموع سری هندسی متناهی در مورد i امین عامل سمت راست، به دست می آوریم 1 + pi+ p i2 +….+ piki = نتیجه می شود که

16. متناظر با نماد ∑ برای مجموع ها، می توان با استفاده از حروف بزرگ « پی » در الفبای یونانی نمادی برای حاصل ضرب ها تعریف کرد. محدودیتی که عدد های مورد عمل را مشخص می کند، معمولا ً زیر علامت ∏ ذکر می شود. به عنوان مثال ∏ f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 1≤ d ≤ 5 ∏ f (d) = f (1) f (3) f (9) d│9 با این قرداد، حکم قضیه 1-2 به صورت فشرده زیر در می آید : اگرn = p1k1p2k2 … prk rتجزیه n >1 به عامل های اول باشد، آنگاه τ (n) = ∏ ( k i + 1) وσ (n) = ∏ 1 ≤ i ≤ r 1 ≤ i ≤ r

17. مثال : عدد 180 = 22× 32 × 51دارای τ (180) = (2+1) (2+1) (1+1) = 3×3×2 = 18 مقسوم علیه مثبت است. اینها عدد های صحیحی به صورت 2α1 × 3α2 × 5α3 هستند به طوری که α 1= 0,1,2 ؛ α 2= 0,1,2 ؛ α 3= 0,1 . به طور مشخص داریم : 1،2،3،4،5،6،9،10،12،15،18،20،30،36،45،60،90،180 مجموع این عدد های صحیح برابر است با σ (180) =

18. طبیعی است که این سوال در مورد تابع های حسابی یاد شده پیش آید که «آیا دارای خاصیت ضربی هستند یا نه؟». اکنون به تحلیل جواب این سوال می پردازیم؛تابع های ضربی در مطالعه تجزیه عدد صحیح به عامل های اول به طور طبیعی مطرح می شوند. پیش از ارائه تعریف، ملاحظه می کنیم که : τ (2×10)= τ (20) = 6 ≠ 2×4 = τ (2) ×τ (10) و نیز σ (2×10) = σ (20) = 42 ≠ 3×18 = σ (2) × σ (10)

19. این محاسبات این نکته ناخوشایند را نشان می دهند که برابری های (m) τ (n)τ (mn) = τσ (mn) = σ (m) σ (n) در حالت کلی برقرار نیستند. ولی، اگرm و n متباین باشند، آنگاه برابری همیشه برقرار است. این ویژگی الهام بخش تعریف زیر است . تعریف1-2: تابع حسابی fضربی نامیده می شود اگر به ازای هر دو عدد صحیح مثبت متباین mوn داشته باشیم f (mn) = f (m) f (n)

20. به استقرا نتیجه می شود که اگر f ضربی و n1,n2, …., n rعدد های صحیح مثبت دو به دو متباینی باشند، آنگاه n1,n2, …., n r) = f (n1) f (n2) …. f (n r) f ( تابع های ضربی امتیاز مهمی دارند: اگر مقدارهایشان به ازای توان های عددهای اول معلوم باشد، کاملا ً مشخص می شوند.در واقع، اگر n >1عدد صحیح مثبتی باشد، آنگاه می توانیم بنویسیم n = p1k1 p2k2… prk r؛ چون pikiها دوبه دو متباین اند، ویژگی ضربی تضمین میکندکه f (n) = f (p1k1) f (p2k2) …. f (prk r)

21. اگر f تابعی ضربی باشد که متحد صفر نیست، آنگاه عدد صحیح n ای وجود دارد به طوری که f (n) ≠ 0. ولی f (n) = f (n.1) = f (n) f (1) چون f (n) ناصفر است، با حذف آن از دو طرف معادله به دست می آید f (1) = 1. نکته ای که مایلیم مورد توجه قرار دهیم این است که به ازای هر تابع ضربی ناصفر، f (1) = 1 اکنون ثابت می کنیم σ و τ دارای ویژگی ضربی اند.

22. قضیه 1-3 : هر دو تابع σ و τ ضربی اند. برهان 1-3: فرض می کنیم m و n عدد های صحیح متباینی هستند. چون حکم به وضوح در حالت n=1 یا m=1 برقرار است، فرض می کنیم m >1 و n >1. اگر n = q1j1 q2j2… qsj sm = p1k1 p2k2… prk r تجزیه m و n به عامل های اول باشند؛ چون gcd (m, n) = 1 ، هیچ p i ای نمی تواند در میان q i ها باشد. نتیجه می شود که تجزیه ی mn به عامل های اول عبارت است از mn = p1k1 … prk q1j1 … qsj s

23. با استفاده از قضیه 1-2 به دست می آوریم τ (mn) = [ (k1+1) … (k r+1) ] [ (j 1+1) … (j s+1) ]= τ (m) τ (n) به روشی مشابه و با استفاده از قضیه 1-2 داریم σ (mn) = = σ (m) σ (n) بنابراین، τ و σ تابع هایی ضربی اند. کار خود را با اثبات حکمی کلی در باره تابع های ضربی ادامه می دهیم. ولی برای این کار به لم زیر نیازمندیم.

24. لم. اگرgcd (m, n) = 1، آنگاه مجموعه مقسوم علیه های مثبت mn متشکل از همه حاصل ضرب های d1d2 است که d1│m و d2│nو gcd (d1, d2) = 1 . برهان لم : اگر m=1 یا n=1، حکم بدیهی است. پس، فرض می کنیم m,n > 1 . گیریم m = p1k1 p2k2… prk r و n = q1j1 q2j2… qsj s، به ترتیب، تجزیه m,n به عامل های اول باشند. چون عددهای اول p1, … ,pr و q1, … , qs متمایزند، تجزیه mn به عامل های اول عبارت است از mn = p1k1 … prk q1j1 … qsj s پس، هر مقسوم علیه مثبت mn مثل d به طور یکتا قابل نمایش به صورت 0≤ bi ≤ ji , 0≤ αi ≤ ki , d = p1α1 … prαr q1b1 … qsb s است.

25. این نشان می دهدکه می توانیم d را به صورت d = d1d2بنویسیم، که d1= p1α1 … prαr عدد mرا و d2= q1b1 … qsb sعدد n را می شمارد.چون هیچpiبرابر هیچ qjای نیست، مطمئناً داریم gcd (d1, d2) = 1. نکته اساسی در بیشتر مطالب بعدی، قضیه زیر است. قضیه 1-4 : اگر تابع f ضربی و F تابعی با ضابطه F (n) = ∑ d│nf (d) باشد، آنگاه F نیز ضربی است.

26. برهان 1-4 :فرض می کنیم m و n عدد های صحیح مثبت، ومتباین باشند. در این صورت F (mn) = ∑d│n f (d) = ∑ f (d1d2) زیرا هر مقسوم علیه d از mn را می توان به روشی یکتا به صورت حاصل ضرب مقسوم علیه d1 ای از m و مقسوم علیه d2ای از n، که در آن gcd (d1, d2) = 1 ، نوشت. بنا به تعریف تابع ضربی f (d1d2) = f (d1) f (d2) نتیجه می شود که F (mn) = ∑ f (d1) f (d2) = ( ∑f (d1) )( ∑ f (d2)) = F(m) F(n)

27. قضیه 1- 4 راه ظاهرا ً کوتاهی برای اثبات ضربی بودن τ و σ در پیش پای ما می گذارد. فرع. تابع های τ و σ ضربی اند. برهان فرع : پیشتر دیدیم که تابع ثابت f (n) =1و تابع همانی f (n)=nضربی اند. چون τ و σ را می توان به صورت σ(n) = ∑d│n d , τ(n) = ∑d│n 1 نمایش داد، حکم بیدرنگ از قضیه 1-4 نتیجه می شود.

28. اعداد تام و σ(n) اکنون می خواهیم دلیل دو ستاره ای را که در کنار قسمت «ب» قضیه 1-2 زده بودیم را بیان کنیم . تاریخ نظریه اعداد مملو از حدس های معروف و پرسش هایی است که هنوز به آنها پاسخ داده نشده است. گفتار حاضر ناضر به برخی حدس های بسیار جالب در باره ی عددهای تام است. از نظر فیثاغورسیان، اینکه عدد 6 برابر با مجموع مقسوم علیه های مثبت خود بجز 6 است، نکته ای قابل توجه بوده است : 3+2+1=6 اولین عدد بعد از 6 که این ویژگی را دارد، 28 است؛ زیرا مقسوم علیه های مثبت 28 عبارتند از 1، 2، 4، 7، 14 و 28 که داریم : 14+7+4+2+1= 28

29. فیثاغورسیان طبق فلسفه ی خود که خواص اسرار آمیزی برای اعداد قائل بودند، چنین اعدادی را «تام» نامیدند. به بیان دقیقتر : تعریف 1-2 : عدد صحیح مثبت nتام نامیده میشود اگر برابر با مجموع همه ی مقسوم علیه های مثبت خود، بجز خود n ، باشد. مجموع مقسوم علیه های مثبت عدد صحیح n، که هر یک از آنها کوچکتر از n، باشند، با σ (n) – n نشان داده می شود.

30. پس، شرط « nتام است » هم ارز با این است که :σ (n) – n = n یاσ (n) = 2n * به عنوان مثال، داریم σ (6) = 1+2+3+6 = 12 = 2×6 و σ (28) = 1+2+4+7+14+28 = 56 = 2×28 بنا بر این هردوی 6 و28 تام هستند.

31. یونانیان فقط چهار عدد تام می شناختند. اینها را نیکوماخوس در حساب مقدماتی خود (درحدود 100 میلادی) به شرح زیر معرفی می کند: P 1 = 6 P 2 = 28 P 3 = 496 P 4 = 8128 او می گوید این عدد ها به صورتی «مرتب» پدیدار می شوند، یکی در میان عدد های یک رقمی، یکی درمیان عدد های دو رقمی و ... ؛ با توجه به این شواهد عددی اندک، حدس زده شد که n امین عدد تام، یعنی P n ، شامل دقیقا ً n رقم است؛ و 2. عدد های تام زوج متناوبا ً به 6 و 8 ختم می شوند.

32. هر دو حدس فوق نادرست بود. عدد تام 5 رقمی وجود ندارد؛ عدد تام بعدی(که نخستین بار در دست نوشته ای فاقد نام نویسنده متعلق به سده ی پانزدهم ذکر شده است) عبارت است از P 5 = 33550336 گرچه آخرین رقم P 5عدد 6 است،عدد تام بعدی یعنی P 6 = 8589869056 نیز به 6 ختم میشود، نه طبق حدس به 8. توجه به بزرگی عدد P 6 کافی است تا ما را متقاعد کند که عدد های تام نادرند. هنوز معلوم نیست که تعداد آنها متناهی است یا نا متناهی. اکنون با توجه به مطالب یاد شده به بررسی تام بودن یک عدد با استفاده از قضیه 1-2 می پردازیم؛

33. برای اینکار عدد P 3 = 496 را بررسی میکنیم: ابتدا عدد را به عامل های اول تجزیه می کنیم : n = 496 = 24× 31 قسمت «ب» قضیه 1-2 σ(496) = اما طبق تعریف عددتام و ( * ) σ(496) = 992 = 2 × 496 پس 496 تام است. این بحث را با بیان کوشش هایی برای تعیین صورت کلی اعداد تام به پایان می بریم.

34. مساله تعیین صورت کلی همه ی عدد های تام تقریبا ً از آغاز تاریخ ریاضی سابقه دارد. قسمتی از این مسئله را اقلیدس حل کرد. او در مقاله نهم کتاب اصول ثابت کرد که اگر مجموع 1 + 2 + 22 + 23 + ….. + 2k-1 = p عدد اولی باشد، آنگاه 2k-1pعددی تام است.مثال : 7=4+2+1 عدد اولی است؛ پس 28=7×4 عددی تام است.در استدلال اقلیدس از فرمول مجموع تصاعد هندسی1 + 2 + 22 + 23 + ….. + 2k-1 = 2k -1 استفاده می شود که در کتاب های مختلف اقلیدسیان آمده است.

35. با این نماد حکم چنین بیان می شود: اگر 2k - 1، k>1 اول باشد، آنگاهn= 2k-1(2k -1) عددی تام است. حدود 2000 سال بعد از اقلیدس، اویلر با اثبات اینکه هر عدد تام زوجی باید به این صورت باشد، گامی سرنوشت ساز در حل این مسئله برداشت. از تلفیق این دو حکم، قضیه مهم زیر بدست می آید. قضیه 1-5 : اگر p = 2k – 1، k>1 ، اول باشد، آنگاه n= 2k-1(2k -1)تام است و هر عدد تام زوج به این صورت است.

36. برهان 1-5: فرض می کنیم p = 2k – 1 عددی اول است، و عدد صحیح n= 2k-1را در نظر می گیریم. چون gcd(2k-1,p)=1، بنابه ضربی بودن σ (و همچنین قضیه 1-2) داریم σ(n) = σ(2k-1p) = σ(2k-1) σ(p) 2k – 1)(p+1) =( = (2k – 1) 2k = 2n یعنی n عددی تام است. برعکس، فرض کنیم n عدد تام زوجی باشد. می نویسیم n= 2k-1m، که در آن m عددی صحیح و فرد است و k ≥ 2. از gcd(2k-1,m) =1 نتیجه می شود σ(n) = σ(2k-1m) = σ(2k-1) σ(m) = (2k – 1) σ(m) چون n تام است σ(n) = 2n = 2km

37. پس، با مقایسه این رابطه ها داریم 2km = (2k – 1) σ(m) که نتیجه می شود (2k – 1)│2km. ولی 2kو 2k – 1 متباین اند، پس (2k – 1)│m ؛ مثلاًM m = (2k – 1). اگر این مقدار mرا در آخرین برابری منظور کنیم و 2k – 1 را حذف کنیم، به دست می آوریمσ(m) = 2km . چون هردوی m و M مقسوم علیه m هستند (M<m ) ، داریم 2km = σ(m) ≥ m + M = 2km یعنی σ(m) = m + M . نتیجه حاصل از این برابری این است که m فقط دو مقسوم علیه مثبت دارد، یعنی M و خود m. بنابراین باید m عدد اولی باشد و M=1

38. 2) تابع μ(n)( تابع میوی موبیوس ) در اینجا تابع دیگری موسوم به تابع μ ی موبیوس را مطرح می کنیم که به طور طبیعی روی عددهای صحیح مثبت تعریف می شود. تعریف 2-1: به ازای اعداد صحیح مثبت n ، تابع μ را با ضابطه اگر n = 1 اگر به ازای عدد اول p ای ، p2│nμ(n) = اگر n= p1p2....pr، به طوری که pi ها متمایز باشند

39. به عبارت دیگر، تعریف 2-1 می گوید که اگر n خالی از مربع نباشد، μ(n) = 0، و اگر nخالی از مربع با r مقسوم علیه اول متمایز باشد، آنگاه μ(n) = (-1)r. به عنوان مثال: μ(30) = μ( 2×3×5 ) = (-1)3 = -1 چند مقدار نخست μ عبارت اند از μ(1) =1, μ(2) =-1, μ(3) = -1 , μ(4) =0 , μ(5) =-1 , μ(6) = 1 اگر p عدد اول باشد، بدیهی است که μ(p) = -1؛ همچنین، به ازای k ≥2، μ(pk) = 0. باید با توجه به مثال های بالا حدس زده باشیم که آیا μ ضربی است یا نه؟

40. قضیه 2-1 : تابع μ تابعی ضربی است. برهان 2-1 : می خواهیم نشان دهیم که اگر m و n متباین باشند، μ(mn) = μ(m) μ(n). اگر به ازای عدد اول p ای ، p2│m یا p2│n، آنگاه p2│mn؛ پس: μ(mn) = 0 = μ(m) μ(n) ، و تساوی به وضوح برقرار است. بنابراین فرض می کنیم هم m وهم n عددهای صحیح خالی از مربعی هستند. مثلا ً M = p1p2....prو n = q1q2....qs ، که در آن عدد های اول pi و qj همگی متمایزند. در این صورت μ(mn) = μ (p1....pr q1....qs)= (-1) r+s = (-1)r (-1)s = μ(m) μ(n)

41. ببینیم چه اتفاقی می افتد اگر μ(d)به ازای همه ی مقسوم علیه های مثبت dی عدد صحیح nای محاسبه شود ونتیجه ها با هم جمع شوند. در حالت n=1، پاسخ آسان است زیرا ∑ d│1μ(d) = μ(1) = 1 فرض می کنیم n >1و قرار می دهیم F (n) = ∑ d│nμ(d) برای تدارک مقدمات، نخست F (n) را به ازای توان عددی اول، مثلا ً n= pk، حساب می کنیم . چون تنها مقسوم علیه های مثبت pk ، k+1 عدد صحیح 1،p،p2، .... ، pk هستند ، داریم F (pk) = ∑d│Pkμ(d) = μ(1) + μ(p) + μ(p2) + … + μ(pk) = μ(1) + μ(p) = 1+(-1) = 0

42. از آنجا که می دانیم μ تابعی ضربی است، توسل به قضیه1-4 مجاز است؛ این قضیه تضمین می کند که F نیز ضربی است. بنابراین، اگرn =p1k1 p2k2… prk r تجزیه متعارف n باشد، آنگاه F(n) حاصل ضرب مقدارهای F به ازای توانهای عددهای اول موجود در این تجزیه است :F (n) = F(p1k1)F(p2k2) …. F(prkr)=0 این نتیجه را به صورت قضیه زیر بیان می کنیم. قضیه 2-2:به ازای هر عدد صحیح مثبت n ≥1 داریم n =1 n >1 که در آن d همه مقسوم علیه های مثبت n را اختیار می کند.

43. به عنوان مثالی از این قضیه10 n = را در نظر می گیریم. مقسوم علیه های 10 عبارتند از 1،2،5،10 و مجموع مطلوب برابر است با ∑d│10μ(d) = μ(1) + μ(2) + μ(5) + μ(10) = 1 + (-1) + (-1) + 1 = 0

44. 4) تابع φ(n)( تابع فی اویلر) در این قسمت به بررسی تابعی می پردازیم که از قضیه ای معروف به تعمیم قضیه فرما توسط اویلر، نشأت گرفته است. به طور خلاصه ، اویلر قضیه فرما را که ناظر به همنهشتی های به پیمانه های اول است، به همنهشتی های به پیمانه های دلخواه تعمیم داد. در حین این کار، تابع حسابی مهمی به شرح زیر معرفی کرد. تعریف 3-1 : به ازای n ≥ 1، φ(n) نشان دهنده تعداد عددهای صحیح مثبت متباین با n و نابیشتر از n است.

45. به عنوان مثالی از این تعریف، ملاحظه می کنید که φ(30) =8زیرا در میان عدد های صحیح مثبت نابیشتر از 30 ، دقیقا ً هشت عدد متباین با 30 وجود دارد؛ این عددها مشخصا ً عبارتند از 1,7,11,13,17,19,23,29 توجه می کنیم که φ(1) = 1، زیرا gcd(1,1) = 1. در حالی که اگر n>1 ، آنگاه gcd(n,n) = n ≠ 1. اگر n عدد اولی باشد، آنگاه هر عدد صحیح کمتر از n با آن متباین است؛ بنابراین φ(n) = n – 1 . پس ثابت می شود که به ازای n > 1 φ(n) = n – 1 اگر وتنها اگر n اول باشد.

46. نخستین کاری که در دستور بحث ما است به دست آوردن فرمولی است که به ما امکان دهد مقدار(n)φ را مستقیما ً با استفاده از تجزیه n به عامل های اول به دست آوریم. گام بزرگی در این راستا مبتنی بر قضیه زیر است قضیه 3-1: اگر p عدد اولی باشد و k > 0، آنگاه φ(pk) = pk – pk-1 = pk (1 – 1/p) برهان 3-1: واضح است که gcd(n, p) = 1 اگر وتنها اگر p│n . میان 1و pk ، pk-1 عدد صحیح بخشپذیر بر p وجود دارد، یعنی p, 2p, 3p, …. , (pk-1)p بنابراین مجموعه {pk، ....،1،2}شامل دقیقاً pk – pk-1 عدد صحیح است که با pk متباین اند .

47. به عنوان مثال داریم = 6φ(9) = φ(32) = 32 – 3 شش عدد صحیح مثبت کوچکتر از 9 و متباین با آن عبارتند از 1،2،4،5،7،8. اکنون می دانیم که چگونه مقدار تابع φ را به ازای توان های اول حساب کنیم و هدفمان به دست آوردن فرمولی برای φ(n) با استفاده از تجزیه n به حاصل ضرب عددهای اول است. قضیه3-2:اگر عدد صحیح n>1 دارای تجزیه n = p1k1 p2k2… prk r به عامل های اول باشد، آنگاه = n (1 – 1/p1) (1 – 1/p2) … (1 – 1/pr)

48. برهان 3-2: به استقرا بر r، یعنی تعداد عامل های اول متمایز n متوسل می شویم. بنا به قضیه 3-1، حکم به ازای r = 1 برقرار است. فرض می کنیم حکم به ازای r = i برقرار باشد. چون gcd(p1k1 p2k2… pik i,pi+1ki+1) = 1 بنا به تعریف تابع ضربی داریم φ( (p1k1 p2k2 … pik i)pi+1ki+1) = φ(p1k1 p2k2 … pik i) φ(pi+1ki+1) = φ(p1k1 p2k2 … pik i) ( pi+1ki+1 – pi+1ki+1-1) بنابه فرض استقرا، در مورد عامل نخست سمت راست و تساوی بالا حکم نتیجه می شود.

49. به عنوان نمونه ،(360) φ را حساب می کنیم. تجزیه 360 به توان های عامل های اول عبارت است از 5×32×23 ، و بنابراین ، با توجه به قضیه فوق داریم : Φ(360) = 360 (1 – 1/2) (1 – 1/3) (1 – 1/5) = 360×1/2×2/3×4/5 = 96