第一章

第一章 线性系统的状态空间描述

目录 第一节状态空间分析法第二节由系统框图求状态空间描述第三节由系统机理建立状态空间描述第四节由外部描述化为内部描述及其标准型式第五节由状态空间方程求传递函数第六节离散时间系统的状态空间描述第七节状态矢量的线性变换第八节 MATLAB应用

系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述传递函数（零初始条件）系统的内部描述状态空间表达式

一、举例 例1 求图示机械系统的状态空间表达式外力位移第一节状态空间分析法弹性系数由牛顿力学得阻尼系数令 -----状态变量

动态方程: 状态空间表达式：

例2 求图示RLC回路的状态空间表达式 解：以i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程选为系统的状态变量，

则原方程可化成 矩阵—向量形式：

令为状态向量，则：

基本概念 • 高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组； • 一阶微分方程的个数等于变量的个数，即高阶微分方程的阶次； • 变量的选择不是唯一的，即微分方程组不唯一。

二、状态变量和状态矢量 • 1.状态:表征系统运动的信息和行为。 • 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一 • 组变量。 • 状态变量的选取不唯一； • 状态变量相互独立，个数等于微分方程的阶次，即系统中独立储能元件的个数； • 状态变量在t0时刻的值为系统的初始状态。

3.状态矢量 三、状态空间和状态空间描述 • 状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。 • 状态空间描述：

线性时变系统 • 线性定常系统线性定常离散系统

1. MIMO系统（ r个输入，m个输出）

简写成矩阵形式 n维状态矢量 r 维输入矢量 m维输出矢量

系统矩阵 输入/控制矩阵直接传递矩阵输出矩阵

例：r=3，m=2

2. SISO系统（ r=1，m=1） 简写成矩阵形式

3. 状态结构图形式 常用符号：比较器积分器比例器注:负反馈时为－状态结构图绘制步骤: ⑴ 画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 ⑵ 根据状态方程和输出方程，画出相应的比较器和比例器； ⑶ 用箭头将这些元件连接起来。

例3 画出一阶微分方程的状态结构图。 微分方程状态结构图

例4 画出三阶微分方程的状态结构图。

例5 画出下述系统状态空间表达式的状态结构图。

第二节由系统框图建立状态空间描述 建立状态空间表达式的三个途径： • 由系统框图建立状态空间描述 [1-2]； • 由系统机理建立 [1-3]； • 由已知的系统其它数学模型建立 [1-4]：由系统微分方程建立；由系统传递函数建立。

由系统框图建立状态空间描述 关键：将积分部分单独表述出来，对框图进行等效变换例6 系统框图如下：等效变换如下：

图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）,则有：图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）,则有：写成矩阵形式：

注：带零点环节的处理方法 先展开成部分分式 → 得到等效方块图 → 再由此变换成状态结构图。含有零点环节的展开方法：二阶系统：等效为二阶微分方程。

第三节由系统机理建立状态空间表达式 步骤：1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；2)选择有关的物理量作为状态变量；3)导出状态空间表达式。例7 写出如图所示RLC网络的状态空间表达式。

解：根据电路定律可得到下列方程 （1）设状态变量

（2）设状态变量 可见对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，状态方程和输出方程也不是唯一的。

例8 对下图所示机械系统，若不考虑重力对系统的作用，试列写以拉力F为输入、质量块m1、m2的位移y1、y2为输出的状态空间表达式。解：根据牛顿定律，可写出系统微分方程如下：

阻尼器和弹簧都是储能元件，这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。阻尼器和弹簧都是储能元件，这里将质量块的位移以及速度作为系统的状态变量。取将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：状态方程：输出方程：

写成矩阵形式：

x3 x3 讨论： 1. 状态变量的独立性。 2. 由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的阶数是唯一的，与状态变量的选取方法无关。 3. 状态空间描述对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。例试确定图中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。

x3 x3 解并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。对图（b） x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。

外部描述内部描述 实现问题第四节化外部描述为内部描述及其标准型式本节先研究SISO系统，3-8研究传递函数矩阵的实现问题。 n阶SISO控制系统的时域模型为：系统的传递函数为：

式中bn是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有理真分式，其系数用综合除法得状态空间描述为可实现的条件: m≤n 当m<n时，d=0；当m=n时，d=bn，

式中A、b、c由实现形式确定，其形式与m<n时相同，但输出方程中需增加一项bnu。 • 由于状态变量的选择是非唯一的，因此实现也是非唯一的。 • 没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。即在所有实现中，它的阶次不能再降。

标准I型 标准II型一、传递函数中没有零点时的实现微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：系统的传递函数为：

若给定初始条件 1. 标准I型则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：

化为向量矩阵形式： • 注： • 状态变量是输出y/b0及y/b0的各阶导数. • 系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的相反数，其它元素全为0，称为底友矩阵或底伴随矩阵。

例1 设 求（A，B，C，D）解：选状态空间表达式为

状态结构图为

2. 标准Ⅱ型 例2 设系统为，试求状态方程。分析：输出y及y的各阶导数的组合可以选作状态变量。问题：线性组合的系数如何确定？由原方程取拉氏变换分析得到。即

解：选择状态变量 推广到n阶系统。

注：标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系，即注：标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系，即

二、输入变量中含有导数项时的实现 不失一般性，系统微分方程形式：状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组不出现u的导数项。传递函数：应用长除法有其中：

串联分解。如图将 分解为两部分的串联，z为中间变量。 1. 标准Ⅰ型 (1)能控Ⅰ型（控制器标准型）

定义如下一组状态变量 可得状态方程：输出方程:

向量-矩阵形式为 其中： A、b、c与相同， • W(s)的实现:

例如，3阶系统的状态结构图如下图

式中系数是待定系数. （2）能观测I型（能观测性标准型）选择状态变量

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