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《 经济数学基础 》

重 难 点 解 析. 《 经济数学基础 》. 第四章 一元函数积分学 ( 下 ). —— 定积分. 典 型 例 题. 主讲教师 周忆年 TEL 86461689. 第 4 章一元函数积分学 ( 下 ) 定积分. 第 4 章 ( 下 ) 定积分. 一、 定积分的概念 二、 定积分的性质 三、 定积分的计算 四、 广义积分. 其中 为 的一个原函数. (1) 的任意原函数都能用来计算 ，其结果相同。. (2) 定积分与不定积分的关系：. 事实上，若设 与 都是 的原函数，则 因此.

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Presentation Transcript

  1. 重难点解析 《经济数学基础》 第四章一元函数积分学(下) ——定积分 典型例题 主讲教师 周忆年 TEL86461689

  2. 第4章一元函数积分学(下) 定积分 第4章(下) 定积分 一、定积分的概念二、定积分的性质三、定积分的计算四、广义积分

  3. 其中 为 的一个原函数. (1) 的任意原函数都能用来计算 ，其结果相同。 (2)定积分与不定积分的关系： 事实上，若设 与 都是 的原函数，则因此 (3)定积分 一般表示一个常数，而变上限的定积分 是 的函数，且 因此， 还是 的一个原函数。 第4章(下)定积分重难点解析 一、定积分的概念 1.定积分的定义 (N-L公式) 说明

  4. 曲边梯形面积计算示意图 y a b x O y 表示曲线 与x轴及直线 x=a、x=b所围成图形 面积的代数和。 + - a b O x 曲边梯形的面积 第4章(下)定积分重难点解析 一、定积分的概念 (续) *2.定积分的传统定义 其中 说明(1)定积分的传统定义由三步构成： ①分割；②求和；③取极限. (2)定积分具有如下几何意义： x1 x2…xi-1 xi…xn-1 (x0) (xn)

  5. 例１ 计算： (1) ∵ 是 的一个原函数 ∴ (2) 第4章(下)定积分典型例题 定积分概念举例(一) 解

  6. 例2设 是区间 上的可导函数，则 下列各等式中不正确的是（ ） 你知道吗？ 函数 (或改变量 )可通过其导函数 的定积分来表示，即有 解:选项A中，由于 是个常数，故 是正确的； 选项B中，由于 是它的导函数 的一个原函数，因此根据N-L公式知 ； 选项C中，由于变上限的定积分 就是被积函数 的 一个原函数，因此有 选项D中，由N-L公式知 ，故选项D中的等式不一定成立。 第4章(下)定积分典型例题 定积分概念举例(二) D ∴ 应选答案D

  7. 例3 填空： (1) (2)曲线 与x轴所围成的图形 面积 . y 由定积分的几何意义易知： ①若 为 上的奇函数， 则 ②若 为 上的偶函数， 则 y=|x| 1 x O 1 -1 (1) 即为函数 的图象与x轴及两条直线 所围成的图形面积。 图(1) y y=sinx ∴ 1 x O -1 图(2) 第4章(下)定积分典型例题 定积分几何意义举例(一) 1 4 解 由图(1)易知该面积值为1. (2)

  8. 例4 下列定积分中，其值为0的是( ） 选项A中，由于当 时 ，故积分 的值为正值，不等于0； 选项B中，由 是奇函数，可知 ； 第4章(下)定积分典型例题 定积分几何意义举例(二) B 解 至于选项C和D，被积函数均是偶函数，且在区间[0,1]上它们的值均为正值，故它们在区间[-1,1]上的积分值也为正值。 ∴ 应选答案B

  9. 性质1 性质2 性质3 特别地 性质4 第4章(下)定积分重难点解析 二、定积分的性质

  10. 例5 求解下列两题： (1)设 , 求 ,并计算 (2)求 ，其中 第4章(下)定积分典型例题 定积分性质应用举例 解

  11. 1.直接积分法 第一换元法(凑微分法) 其中 单调且可导， *第二换元法 其中 单调并可导,且 ， 满足 第4章(下)定积分重难点解析 三、定积分的计算 这是一种利用积分基本性质和公式等，直接确定出被积函数的原函数，然后根据N-L公式计算定积分的方法。 2.换元积分法 注意如果换元，别忘换限。 3.分部积分法

  12. 例6 计算定积分： 第4章(下)定积分典型例题 直接积分法举例 解:

  13. 例7 计算定积分： 第4章(下)定积分典型例题 定积分的换元积分法举例 解法一:（第一换元法） 解法二:（直接凑微分，不换元） (接下页)

  14. 令 为化简 的被积式， 则 ，于是 则 ， 即有 ，于是 令 第4章(下)定积分典型例题 定积分的换元积分法举例(续) 解法三:（第二换元法） 解法四: 两边微分,得

  15. 例8 计算定积分： 第4章(下)定积分典型例题 凑微分法求定积分举例 解: 另解:

  16. 例9 计算定积分： 第4章(下)定积分典型例题 定积分的分部积分法举例 解:

  17. 若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛；反之，则称该广义积分发散。 第4章(下)定积分重难点解析 四、广义积分 1.定义 2.计算方法 先计算定积分，然后求极限：

  18. 例10 求广义积分： 第4章(下)定积分典型例题 求广义积分的例题 解: 可知该广义积分发散. (接下页)

  19. 说明 由定积分的几何意义易知，广义积分 收敛的必要条件是 . (1) 一定收敛； (2) 当 时收敛，而当 时发散； 思考 1.若广义积分 收敛，则（ ） 2.下列无穷限积分收敛的是（ ） (3) 当 时收敛，而当 时发散； 第4章(下)定积分典型例题 广义积分收敛性判别的几个结论 另外，可以证明如下结论： D B

  20. 第4章一元函数积分学(下)定积分 教 学 要 求 1.了解定积分的概念,知道定积分与不定积分的联系 与区别;掌握N-L公式及定积分的有关性质.2.掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3.知道广义积分的收敛性,会求无穷限广义积分.

  21. 例一 求定积分： 另解: 令 ， 则 ，于是 第4章(下)定积分典型例题 定积分综合计算举例一 解:

  22. 例二 已知 求 而 ∴ 第4章(下)定积分典型例题 定积分综合计算举例二 解: ∵

  23. 例三 计算定积分： ∵ 和 分别是 上的偶函数和奇函数， ∴ 第4章(下)定积分典型例题 定积分综合计算举例三 解:

  24. 例四 已知 ，求 进而得 则 ∴ 第4章(下)定积分典型例题 定积分综合计算举例四 解法1:已知式两边对x求导，可得 (接下页)

  25. 解法2: 据题设 则 ∴ 第4章(下)定积分典型例题 定积分综合计算举例四(续) 两边对x求导，可得

  26. 求证题： (1)设n为正整数，求证： (2)设 为 上的奇函数，求证： (1)左边 右边 (2)∵ 则 而据题设知， 即证 ∴ 第4章(下)定积分典型例题 积分等式证明举例 证: (证毕) (证毕)

  27. 再见！ 《经济数学基础》 第六讲（定积分）结束

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