１．スケールの話。２．いろいろな力。３．３次元空間内の運動の表現　　　動径ベクトル４．速度ベクトル、加速度ベクトル。

力学１．スケールの話。２．いろいろな力。３．３次元空間内の運動の表現　　　動径ベクトル４．速度ベクトル、加速度ベクトル。

mechanics 力や運動を扱う物理の分野。いろいろな力学がある。　　流体力学、粉体力学、量子力学などもある。物理学１では、力学の基礎を扱う。力学とは

ニュートン　Isaac Newton 17世紀後半-18世紀初　イギリスの自然科学者　数学も物理も研究していた。物理は数学と関係が深い。・力学の基礎・二項定理・微積分の基礎

量子力学 古典物理（力学、電磁気）素粒子物理学宇宙物理物性物理生物物理長さのスケール。 100 ＝１ 1010 10-10 m(メートル）細胞の大きさ 1μm(10-6)～10μm ナノ (10-9m) 人間の身長 1.5-1.8mくらい地球１周 4x107m (半径6400km) 太陽までの最短距離 1.5x1011m 水素の半径（ボーア半径） 0.5Å 医学が扱う領域単位を覚えておこう。マイクロ(μ)=10-6 = 1/1,000,000 ナノ(n)＝10-9 ピコ(p)＝10-12 金属原子の半径 1Å=10-10m オングストローム

・長さ　　身長、臓器の大きさ、ガンの大きさ、・長さ　　身長、臓器の大きさ、ガンの大きさ、・時間　　人間の寿命、１日の長さ、１分間の脈拍、呼吸の回数・速度　　歩く速度、走る速度、血流の速度。・質量　　体重・力　　　筋肉にかかる力、スポーツ・振動数　音を聴く。・圧力　　血圧　　・電荷　　神経系の電気シグナル・熱、仕事　食物として取り入れるエネルギー、運動で使うエネルギー・温度　　　体温いろいろな物理量と人体しかし定量的に測りにくい場合も当然ある。定性的な判断：　　例) X線の画像を見て、ガンがあるかどうか判断。

mg 人体にとって大事な力。重力に逆らって血液を流す必要がある。無重力下で人体はどうなるか？　・宇宙飛行士の測定。　　　　骨のミネラルが失われる。　　　　適度な重力が人体に役立つ。いろいろな力：　１．重力 m

摩擦が全然ないと、滑って歩けない。 N N(抗力）静止摩擦係数 μ いろいろな力：　２．摩擦力 μN 摩擦力　μN 歩くには、μ> 0.15が必要。これより摩擦が小さいと滑って転びやすい。乾いた道路上のゴムタイヤ：μ=1.0程度濡れた道路上のゴムタイヤ：μ=0.7 関節：　μ＝0.003 食べ物を飲み込む時、唾液によって摩擦係数を減らしている。　　（乾いたトーストは食べにくい。）

３次元空間のベクトル

力学は力や運動を扱う。 ３次元空間での、位置、速度、加速度や力を考える時に、ベクトルが扱いやすい。なぜベクトルを考えるか？

ベクトル　vector 　　大きさと方向を持つ量　　成分の数は、　　　３次元ベクトルなら３つ。　２次元ベクトルなら２つ。　　例：速度ベクトル、力のベクトルスカラー scalar 　　大きさを持つが、方向を持たない量　　成分の数が１個。　　例：質量m、時間t、温度T、体積V スカラーとベクトルベクトルではないことを強調したい時に、「スカラー」ということが多い。

教科書p.3 大きさと向きだけでなくて、作用点も大事。力はベクトル。作用点物理のベクトルは、平行移動できない。問題　隣の人と２人１組になり、お互いの手に　　力をかけてみて下さい。　　力の大きさ、向き、作用点を変えてみて下さい。

z O y x z 左手系右手系３次元の軸の書き方 O x y 　こちらを　使います。（業界標準）回転させても、重ならない。右手系の書き方。・xy平面（xが東、yが北）に対してz軸を上向けに書く。・野球の場合、x軸は１塁方向、y軸が３塁方向、ｚ軸が上向け。

・指で覚えるのは間違えやすいので、避けた方がよい。・指で覚えるのは間違えやすいので、避けた方がよい。　　右手の親指：x, 人差し指：y, 中指:z ３次元の軸：補足なぜ右手系か左手系の片方に決めた方がよいか。　回転の方向を説明する時に必要。　例：「x軸からy軸に回る方向」　　　（後で出てきます。）

x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。座標で書くと、 z 基本ベクトル O y x 教科書ではと書いている。電流、虚数単位、波数などと間違えやすいので、授業では、　　　　　　を使っている。

z P(x,y,z) O y x radius vector 位置ベクトルとも言う。動径ベクトルある原点Ｏからのベクトル。注意：数学のベクトルは平行移動できるが、　物理のベクトルは平行移動できない物が多い。　動径ベクトルも平行移動できない。　　　（位置が変わってしまう。）

y ２次元の場合の基本ベクトル x O

x軸、y軸方向の単位ベクトル（長さ１）。 座標で書くと、 y ２次元の場合の基本ベクトル x O

動径ベクトルを使う理由 力学は物体の運動を調べる。運動を見るには、まず場所を知る必要。動径ベクトルで、「どこにいるか？」を記述する。座標(x,y,z)よりも、ベクトルrで記述した方がわかりやすい場合がある。

z P(x,y,z) 説明１　成分を使う。右辺=x(1,0,0)+y(0,1,0)+ z(0,0,1) =(x,y,z)　左辺になる。説明２　　動径ベクトル（赤い矢印） =黄色の矢印+ 緑の矢印　+ 茶色の矢印 = 動径ベクトルの２つの説明 O y x

動径ベクトルは、原点から物体がいる点までの動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。半径の方向と長さが変わっていくイメージ。動径（動く半径）と呼んでいる。記号rを使う理由は、英語でradius(半径）のため。物体動径ベクトルの補足原点

微分１．スカラーの微分（高校の微分）２．ベクトルの微分

なぜ微分が必要か？ ベクトルの微分の意味は、後でやります。動径ベクトル微分２階微分速度ベクトル微分加速度ベクトル

微分の定義 differentiation：微分（名詞） differentiate:　微分する（動詞）教科書p.367-368 似ている単語：　difference: 差関数の微分引き算と割り算 Δ　　デルタ　と読む。 Δｘ　　xが少し変化した量 limitの略。極限、限度。 Δｘが0に近づいた時の値。 xが少しだけ変化した時に、y=f(x)がどのくらい変化するか割合を示す。微分の図形的意味は次のページへ。 23

微分の補足 Δxとは xの増分（＝増加した分）もし、xがΔｘだけ増えると、がどんどん小さくなること。とは

直線の傾きとは y Δy Δｘ x 0 傾斜が急かどうかを表す。 25

曲線の傾きとは？ その点での接線の傾き。場所によって傾きが違う。青い点での傾き大きい赤い点での傾き小さい 26

接線の傾きをどう定義するか？ y=f(x) 直線の傾きを求めるには、２点必要. 27

接線の傾きをどう定義するか？ 赤い点での傾きを求めるには、曲線上の点（黄色）との傾きを求める。黄色、緑、青と近づけると、赤い点での傾きに近くなっていく。 28

微分の図形的意味 y y=f(x) f(x+Δx) 接線 f(x) x x x+Δx 青い点線の傾きが Δxが0に近づくと、青い実線に近づいていく。は接線の傾きを表す。 29

２階微分 もう１度微分したものを２階微分と呼ぶ。２の位置に注意。別の書き方

微分の補足 という微分操作を関数fに対してしたと見ることができる。の意味 fを分離して書くことがある。あるいはこの微分操作を２回した時の記号は、と書くこともできるが、簡単にと書くことが多い。２の位置は、分子はdの右上、分母は変数(この場合はx)の右上。

「べき」とは 漢字で書くと、「冪（べき）」べき乗、累乗とも言う。英語では、power ここを「べき」と言う。 two to the 5th power two to the power of five べき関数：　power function など、べきの形になった関数

べき関数の微分 数２の復習微分の定義は問題　微分の定義を使って、次の関数の微分を求めよ。 a) b) c) d) e) nは自然数

微分の定義を使った計算：注意 数２の復習最初からΔx=0を代入すると、分母＝０、分子=0になって、 0÷0でわからなくなってしまう。先に右側の計算（引き算と割り算）を実行して、整理できることはしてから、最後にlimをとる。 (Δx=0を代入する。）

二項定理の復習 数２

スカラー（成分が１個のベクトル）の 　場合と同じベクトルの微分　少しの時間Δt だけ経過した時のベクトルの変化の割合。　　　　　と　　　は一般には、方向も長さも変わる。

ベクトルの足し算と引き算

に対して、 動径ベクトル速度ベクトル速度 1次元だと、ある時間に、どのくらいの距離進むか。例：一定の速さで動き、３秒間で 15m進んだとしたら、v=15/3=5m/s

に対して、 動径ベクトル加速度ベクトル速度ベクトル速度と加速度速度の意味：ある時間に位置がどのくらい変化するか。加速度の意味：ある時間に速度ベクトルがどのくらい変化するか。問題　消しゴム（または筆記用具）を使って、　以下の運動を実演してみてください。 (1)大きな速度の運動と、小さな速度の運動。 (2)大きな加速度の運動と、小さな加速度の運動。 a) 直線運動の場合　　b) 曲がる運動の場合

動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。半径の方向と長さが変わっていくイメージ。動径（動く半径）と呼んでいる。記号rを使う理由は、英語でradius(半径）のため。物体動径ベクトルの補足原点例：野球場でボールの場所を表すのに、　ホームベースを原点にして、ボールまでのベクトルを　動径ベクトルにする。

動径ベクトルがどう変化するか。 その瞬間の進む方向速度ベクトルの補足記号vを使う理由： velocity(速度）のため。

曲線の場合 加速度ベクトルの補足曲がる時は内向きの加速度（右折する時は、右向きの加速度）記号aを使う理由：　acceleration （加速）の頭文字。

教科書p.11 equation of motion ニュートンの運動の第２法則とも呼ぶ。力（ベクトル）運動方程式質量 (スカラー) 加速度（ベクトル）力を受けると、物体は運動する。力と加速度は同じ方向。しかし、力と速度は同じ方向とは限らない。力と位置ベクトルは同じ方向とは限らない。

教科書p.11 参考映画Star Wars 「Use your force」自分の力を使え。力質量加速度運動方程式：力により運動が起こる。 force mass acceleration 力は目に見えない。運動は目に見える。ニュートンさんは、運動（木からりんごが落ちる）を見て、力の法則を発見したと言われている。

運動方程式は、他の式から証明する式ではない。運動方程式は、他の式から証明する式ではない。経験則（経験や実験と合う）。質量一定なら、加速度と力は比例。加速度一定なら、質量と力は比例。力が一定なら、質量と加速度は反比例運動方程式は経験則

力Ｆにはどのようなものがあるか？　たとえば、力Ｆにはどのようなものがあるか？　たとえば、・重力・摩擦力・電荷が電場から受ける力・電流が磁場から受ける力・分子と分子の間に働く力・人間の体内のタンパク質が他のタンパク質や水から受ける力・地震の時に、地面から受ける力。 -> 大きな力を受けると、建物が倒れたり、　　　　　水が動いて津波になる。　　東北新幹線は、最初の地震波(P波）を検出して、　　自動的に新幹線への電気を停止。減速した。その後にＳ波。　　脱線や人身事故がなかった。力の種類

ゲーム会社の就職（ゲームクリエーター）で 力学や数学の試験がある所もあります。力学：重力がある場での落下物を正しく表現できるか。数学：3Dゲームを作るには、　　　３次元の座標変換、行列。プログラミング言語、ゲーム作成経験も必要です。参考：ゲームクリエーターの試験

より運動方程式と微分方程式は物体のある時間での位置を表す。力　　　がわかっている時、　　を求めたい。を求めることを、「運動を解く」と言う。微分方程式（微分を含む式）を解く必要。

微分方程式：　関数の微分を含む式 例：微分方程式を解くとは。いろいろな関数の微分を知っていれば、微分方程式を解くことができる（場合もある。）問題　次の微分方程式を解け。 (2) (3) (4) (1)

三角関数の微分 三角関数は、物理でよく使います。

１．スケールの話。 ２．いろいろな力。 ３．３次元空間内の運動の表現 動径ベクトル ４．速度ベクトル、加速度ベクトル。