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空间解析几何与向量代数

z. III. II. IV. I. 0. y. VI. VII. x. V. VIII. 第 七 章. 空间解析几何与向量代数. z. o. y. x. 第一节 空间直角坐标系. 一、空间直角坐标系的建立. 1. 空间直角坐标系. y. o. x. z. x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴) 组成了一个 空间直角坐标系 , 点 O 叫做 坐标原点. z. III. II. IV. I. 0. y. VI. VII. x. V. VIII. 图 7- 2. 2. 坐标面.

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  1. z III II IV I 0 y VI VII x V VIII 第 七 章 空间解析几何与向量代数

  2. z o y x 第一节 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系的建立 1. 空间直角坐标系 y o x z x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 点O叫做坐标原点.

  3. z III II IV I 0 y VI VII x V VIII 图7- 2 2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫xoy面. yoz面、zox面, 它们将空间分成八个卦限.

  4. z M > (x, y, z) z M y O y x x 二、点在空间直角坐标系中的坐标表示. < R 记: 点M为M (x, y, z) Q P

  5. 特别: (1) 若点M在yoz面上, 则 x = 0; 在zox面上, y = 0; 在xoy面上, z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0 (3) 各卦限点的坐标 Ⅰ (+, +, +) Ⅱ (, +, +) Ⅲ (, , +) Ⅳ (+, , +) Ⅴ (+, +, ) Ⅵ (, +, ) Ⅶ (, , ) Ⅷ (+, , )

  6. z R2 R R1 M2 M1 Q N P Q2 Q1 y P1 O P2 x 三、空间两点间的距离 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) 为空间两点 d 2 = | M1 M2 |2 = |M1N |2+ |NM2 |2 = |M1P |2 + |PN |2 +|NM2 |2 = |P1 P2 |2 + |Q1 Q 2 |2 + |R1 R 2 |2 = (x2x1)2 + (y2y1)2 + (z2z1)2

  7. 空间两点的距离公式: 特别: 点M(x, y, z) 到原点O(0,0, 0)的距离

  8. 例1: 求证以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: 由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.

  9. 所求点为 M (0, 0, ) 例2: 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 解: 设该点为M(0, 0, z) 由题设 |MA| = |MB|. 即: 解得:

  10. B A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 |AB| 或 第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法 一、向量概念 1. 向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量.(或矢量) 2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 特别: 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.

  11. 大小相等且方向相同, 4. 向径: 以原点O为起点的向量OM, 称为点M对于点O的向径. 记为r. 3. 自由向量 自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.

  12. 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作 将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为 二、向量的加减法 1. 向量加法. (1) 平行四边形法则 (2) 三角形法则

  13. 2. 向量加法的运算规律. (1) 交换律: (2) 结合律: 例如:

  14. (1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 2. 向量减法. (2) 向量减法. 规定:

  15. 将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 (i) 平行四边形法则. (ii) 三角形法则.

  16. 规定: 向量 与数 的 为一个向量. (>0) (<0) 三、向量与数的乘法 1. 定义: 设为实数. 其中: 当> 0时, 当< 0时, 当= 0时, 2. 向量与数的乘积的运算规律: (1) 结合律: (2) 分配律:

  17. 结论1: 两个非零向量 平行 (其中为常数) 结论2: 设 表示与非零向量 同向的单位向量. 则 或

  18. 例1: 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD = 试用 表示向量MA, MB, MC, 和MD. 其中, M是平行四边形对角线的交点. 解: = AC = 2MC C D 有MC = M MA = MC 又 = BD = 2MD A B 有MD = MB = MD

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