1 / 50

第六章 機率分配

第六章 機率分配. 隨機變數 機率分配函數 常用的機率分配. 隨機變數 (random variable). 將隨機實驗中每一個 樣本點 對應至 實數值 之 “ 函數”. 樣本點. 實數值. 隨機變數 f. EX: 丟擲兩個銅板. 隨機變數 X = 正面出現個數. 樣本空間 ： （正，正） （正，反） （反，正） （反，反）. 隨機變數值 x ： ? ? ?. 間斷型隨機變數. 隨機變數值為： 有限可數 無限可數. 連續型隨機變數. 隨機變數值為： 無限且不可數. 間斷機率分配函數. 間斷型隨機變數 的機率分配.

emma-hinton
Download Presentation

第六章 機率分配

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第六章機率分配

  2. 隨機變數 • 機率分配函數 • 常用的機率分配

  3. 隨機變數 (random variable) • 將隨機實驗中每一個樣本點對應至實數值之“函數” 樣本點 實數值 隨機變數 f

  4. EX: 丟擲兩個銅板 隨機變數 X = 正面出現個數 樣本空間： （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 隨機變數值 x： ? ? ?

  5. 間斷型隨機變數 • 隨機變數值為： • 有限可數 • 無限可數

  6. 連續型隨機變數 • 隨機變數值為： • 無限且不可數

  7. 間斷機率分配函數 • 間斷型隨機變數的機率分配 Example

  8. Return EX: 丟擲兩個銅板 隨機變數 X = 正面出現個數 f(x)=正面出現x次 的機率 樣本空間： （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 隨機變數值 x： 2 1 0 f(2)= f(1)= f(0)=

  9. 例6.1 丟擲一個均勻的銅板三次(續) f(0) = P(X=0) = P({(T,T,T)})= f(1) = P( X=1) = P({( H,T,T),(T,H,T), (T,T,H)})= f(2) = P( X=2) = P({( H,H,T),(H,T,H), (T,H,H)})= f(3) = f( X=3) = P({((H,H,H)})= • 每一個 f(x) 皆介於0與1之間 • 所有f(x)總和等於1。

  10. 例6.1 丟擲一個均勻的銅板三次(續1) 圖6.2 隨機變數X的機率分配 樣本空間 隨機變數 機率f(x) 3 2 1 0

  11. 隨機實驗 隨機變數 機率分配函數

  12. Example • 累加機率分配 • 對每一個可能數值xi而言，0  F(xi)  1。 • 若x1＜x2，則F(x1)  F(x2)。 • 若a＜b，則f(a＜x b) =F(b) －F(a)。

  13. Return

  14. 因此，X之累積機率函數為

  15. 1 階梯式函數 0

  16. 以機率分配計算母體平均數、母體變異數***

  17. EX 6.3 & 6.5 (p.140)

  18. 例6.4 教師出教科書之情況 • 表6.3為某學校400名教師出版教科書冊數之次數分配表，試求教師出版教科書之平均冊數？ 表6.3 教師出版教科書冊數之次數分配表

  19. 例6.4 教師出教科書之情況(續) 解： 如果我們讓代表教師出版教科書冊數，然後其相對次數視為其出版冊數的發生機率，那麼就可視為一個間斷的隨機變數，因此 根據(6.1) 式計算，其期望值為

  20. 例6.6 接續例6.4 • 接續例6.4，試求某學校教師出版教科書冊數之變異數和標準差？ 解： 因此，某學校教師出版教科書冊數之平均數為1.5725冊，變異數為1.1897，標準差為1.09冊。

  21. 期望值定理***

  22. 變異數定理***

  23. 標準化隨機變數 • 隨機變數X  • 標準化隨機變數

  24. 常用的機率分配 • 二項分配 • 超幾何分配 • 波松分配

  25. 二項分配

  26. 伯努利 (Bernoulli) 實驗 • 只有兩種結果之實驗 • Ex: 成功 = 1 vs. 失敗 = 0 • 成功機率 = P(X=1) = f(1) = p • 失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p • 期望值 = • 變異數 =

  27. 二項分配 • 特性 • 進行 n 次伯努利實驗 • 成功機率 = P(X=1) = f(1) = p • 失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p • 每一次實驗互相獨立 • 隨機變數 X = n 次實驗中成功次數 X = 0, 1, 2, … , n

  28. 二項機率函數 • 期望值 • 變異數

  29. 例6.8 超級市場消費情形 • 一家超級市場發現在促銷活動期間，每位顧客會消費超過1,000元的機率為80%。現有5位顧客，請問這5位顧客於促銷期間會消費超過1,000元的人數之機率分配為何？其期望值和變異數又為何？ 解：此隨機試驗具有下列之性質 • 包含5個試驗，每位顧客之消費視為一試驗。 • 每次試驗互相獨立，每位顧客消費之情況不會互相影響。 • 每次試驗只有兩種可能的結果，消費超過1,000元（視為成功）或沒有超過1,000元（視為失敗）。 • 每次試驗成功的機率為，消費超過1,000元的機率為0.8。

  30. 例6.8 超級市場消費情形（續 ) 由於符合二項隨機試驗之性質，故為二項隨機試驗。現定義隨機變數X為5位顧客於促銷期間會消費超過1,000元的人數。所以，其機率分配為n=5、p=0.8的二項分配。根據(6.5)式，其各可能數值之機率值分別為 根據(6.6)與(6.7)式，其期望值和變異數分別為

  31. 超幾何分配

  32. 超幾何分配 • 特性 • 母體為N，可分為兩類，其中一類（成功）共有 k個，另一類（失敗）共有 N – k個 • 共抽取 n次且每次成功機率會改變（ex: 抽出不放回） • 隨機變數 X = n 次實驗中成功次數

  33. 二項分配與超幾何分配比較

  34. 失敗N-k 成功 k 失敗n-x 成功x 樣本 n 母體 N

  35. 超幾何機率函數

  36. 因實驗不獨立之校正因子 p • 期望值 and 變異數 1-p

  37. 例6.9 行動電話系統市場概況 • 根據調查顯示，台灣大哥大與遠傳電信為消費者心目中的前二名行動電話系統業者。假設現有10位行動電話使用者，其中7位使用台灣大哥大，3位使用遠傳電信。茲從這10人中隨機抽取3人，定義隨機變數為抽取的3人中使用遠傳電信的人數，試問恰有2人使用遠傳電信的機率為何？X之期望值與變異數又為何？ 解： 令抽取一個使用遠傳電信的人視為成功事件，且定義隨機變數為抽取的3人中使用遠傳電信的人數，則X的可能數值為0,1,2,3，根據(6.8)式，其機率值分別為

  38. 例6.9 行動電話系統市場概況（續）

  39. 例6.9 行動電話系統市場概況(續1)

  40. 例6.9 行動電話系統市場概況（續2） 因此，恰有2人使用遠傳電信的機率為7/40。 且根據(6.9)式和(6.10)式，X之期望值與變異數分別為

  41. 波松分配

  42. 波松分配的實例 • 考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數，學生到辦公室找老師的次數……。 上述現象大致上都有一些共同的特徵：在某時間區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數是一個隨機變數，它所對應的機率函數稱為 Poisson 分配。

  43. 波松分配 • 隨機變數 X = 在一連續區間內某一事件之發生次數 X = 0, 1, 2, … • 假設 : • 在一連續區間（時間、距離、空間…）發生某一事件的次數與另一區間發生的次數互不相關

  44. 波瓦松分配： • 期望值 and 變異數

  45. 例6.10 新光百貨公司顧客概況 • 新光百貨公司在晚上7:00至10:00期間，平均每半小時有90位顧客，試問該公司在晚上7:00至10:00期間，每分鐘顧客人數不少於2人之機率為何？ 解： 令隨機變數X表示每分鐘內顧客的數目，因為平均每半小時有90位顧客，所以平均每分鐘有3位顧客。因為每位顧客到達百貨公司之事件互相獨立，故每分鐘顧客人數之機率分配為=3的波松分配。根據(6.11)式，其機率函數f(X)為

  46. 例6.10新光百貨公司顧客概況（續） 由(6.14)式，可得 因此，每分鐘顧客人數不少於2人之機率為

  47. 事件發生 之背景 抽出放回 離散n 實驗次數 抽出不放回 計算某一事件發生次數之 機率 連續 t (某一段時間、距離、區域)

  48. 二項分配 波瓦松分配 超幾何分配 (t=1) n=1 伯努力分配

More Related