 刚体定点运动的工程实例与基本概念

第10章刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成 刚体定点运动的工程实例与基本概念 刚体绕定点运动  自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成 结论与讨论

刚体定点运动的工程实例与基本概念

§10-1刚体绕定点运动 1 运动方程 ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线； －进动角： ON与O轴的夹角; －章动角： O与Oz轴的夹角; －自转角： ON与Ox轴的夹角; 、  、  －三者相互独立。

刚体作定点运动时，三个欧拉角一般都随着时间的变化而变化：刚体作定点运动时，三个欧拉角一般都随着时间的变化而变化：  = (t),  =  (t),  =  (t). 运动方程 (t)，(t)， (t)确定了瞬时t 定点运动刚体在空间的位置。

  z z z y    y y x x    x O O 欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用

z y       z z N，x y y         N，x N，x O O 欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用

z y z y         N x z N，x y           N，x O O 欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用

2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定点的某一轴的一次转动实现。有限转动轴位置和有限转动角设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系（ Ox0y0z0）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置为（ Ox1y1z1）。将（ Oxyz）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置，即定坐标系（ Ox0y0z0）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列阵为e0。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1）的基矢量i1，j1，k1排成的列阵为e1。

转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1， p2， p3 ，即

转动轴的位置由下列方程解得 转动角有以下计算公式

z y z y x x y z x 绕 z轴转900 绕 x轴转900 x z y y z z y x x 绕 x轴转900 绕 z轴转900 有限转动次序的一可交换性

例题 1 矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。 z k0 求：（1）连体在转动前后位置间的方向余弦矩阵；（2）有限转动轴的位置及转过的角度。 j0 i0 O y i k j x 解：由图示转动关系有

z k0 j0 i0 O y i k j x 由解得由解得

C C* ´  O 3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度假设从 t到 t+t的 t 时间间隔内定点运动刚体绕通过定点O的OC轴转过，这时转动角速度为´；当t→0时，转动轴则由OC 轴→OC* 轴。 OC* 轴称为t瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t瞬时的角速度。瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在空间的方位以及刚体上的位置各不相同。定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚体绕一系列瞬轴的转动过程。

定点运动刚体角速度矢量对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。角加速度根据变矢量的导数定义－相对导数，  相对于动系的变化率；－动系的转动角速度。定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般情形下不共线。

  v v r r r   v v v v v v v v v v           O O   角加速度矢量的方向定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。

例题 2 高度为h、底半径为r的圆锥体，以顶点O为定点在水平面上作纯滚动。若已知锥底圆心C处的vC为常数。求：圆锥体的角速度和角加速度. z y x 解：圆锥体绕定点O作定点运动。定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－圆锥体绕O z 轴作定轴转动： 2＝ r

 z y x  ＝常数解：圆锥体绕定点O作定点运动。纯滚动 OC*上各点速度为0 OC*为瞬轴，ξ

 z y  x ＝ e ＝ e=常数 ＝ 0 规则进动 ＝ r ＝ r =常数 ＝e＋ r＝  ＋ 

 e v   r 对于规则进动， 相对于动系为常矢量，

＝e＋ r＝  ＋ 

C* ω 90o M h v r O 4. 刚体上各点的速度与加速度速度速度的大小由下式确定 h为M点到瞬轴的垂直距离

a2  a1 O 加速度 a1=a×r —— 转动加速度 C* a2=ω × v——向轴加速度 90o a1=αrsin (α ,r)=ω h΄ ω h M a2= ω vsin (ω ,v)=ω2h΄ v r a1的方向垂直于α和r所组成的平面，指向α 的转动方向； a2同时垂直于 v 和瞬轴，恒指向瞬轴。

半径为r的圆盘绕轴作纯滚动，角速度为ω1=常数；OO´轴的长度为 l 。求：A、B、C 三点的速度和加速度。例题 3  ω1 ω  C C* O´ O A B A 解：圆盘作纯滚动，与地面接触点A速度为0，A点为除定点以外的另一个固定点。因此，通过OA的直线OC* 即为瞬轴。

vC rC  ω1 ω   C C* O´ O A B A C

a1 vC rC  ω1 a2 ω   C C* O´ O B A A C

z´ ´ z O´ ´ x´ y´ ´ O y x §10-2 自由刚体的运动刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点的平移和相对于基点的定点转动。基点： O´点定系： O x y z 平移系： O´ ´ ´ ´ 结体系： O´x´y´z´ 绝对运动－一般运动牵连运动－基点O´的平移相对运动－绕O´点的定点运动

z´ ´ z O´ ´ x´ y´ ´ O y x 空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度： N＝3＋3＝6 广义坐标为： q =(xO´, yO´,zO´,,,) 运动方程为：

C* ω z´ ´ z vr va ve= vO´ vO´ P O´ rP´ ´ x´ y´ ´ O y x vO´－基点的绝对速度，其余点的牵连速度 ω－刚体绕相对瞬轴转动的角速度 vr －刚体绕相对瞬轴转动时，相对于结体系的速度： va－绝对速度：

 C* ω a2 a1 z P O´ aO´ ae=aO´ rP´ O y x aO´－基点的绝对加速度，其余点的牵连加速度； ω－刚体绕相对瞬轴转动的角速度； －刚体绕相对瞬轴转动时的角加速度； ar －刚体绕相对瞬轴转动时，相对于结体系的加速度： ar＝ a1+ a2＝ × rP´ + ω×vr aa－绝对加速度： aa＝ae＋ar＝ aO´+ a1+ a2＝ aO´+ × rP´ + ω×vr

z z´ ω2 vA ω1 ω1 rOA y´ O y O x x´ P A 图示机构中，摇臂OA以等角速度ω1绕铅垂轴转动，半径为R的圆盘以等角速度ω2相对于摇臂转动。 OA＝l 。例题 4 求：1、圆盘的角速度和角加速度； 2、圆盘上P点的速度和加速度。解：基点：A 定系：O x y z 平移系：A x´y´z´ 圆盘的运动：跟随基点A的平移和绕基点A的转动应用矢量向一点平移理论，将角速度矢量ω1向基点A平移,得到：

z z´ vA ω1 ω rOA y´ O y O ω2 x x´ A 解：圆盘的角速度和角加速度角速度角加速度

z z´ vr vA vA ω y´ O y O x x´ P A 解：P点的速度和加速度速度加速度

C* ω1 ω ω2 O §10-3 刚体绕相交轴转动时的角速度合成定理刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴的角速度等于分别绕二相交轴转动角速度的矢量和,合矢量的所在位置即为瞬轴位置。 ω＝ ω1＋ ω2 其中ω1和ω2可以分别为牵连角速度ωe或相对角速度ωr。

结论与讨论 角速度与角加速度的关系－变矢量导数的应用绕相交轴转动时的角速度合成定理绕相交轴转动，并且为规则进动时的角加速度绕相交轴转动，但不是规则进动时的角加速度

定点运动刚体上任意点的速度与加速度 一般运动刚体上任意点的速度与加速度

结论与讨论  特定的运动形式，特定的分析方法 一般运动刚体上任意点的速度与加速度 va ＝ ve+ vr＝vO´＋ rP´ aa＝ae＋ar ＝ aO´+ aR+ aN ＝ aO´+ vr+ rP´

结论与讨论  刚体定点运动，在每一瞬时都存在一通过定点的瞬轴，刚体的瞬时运动，就是绕瞬轴以瞬时角速度 ω 作瞬时转动。  刚体绕定点的连续运动，就是绕连续变化的瞬轴，以连续变化的瞬时角速度作连续转动。

结论与讨论 刚体连续作定点运动的过程中，连续变化的瞬轴在定参考系中所形成的轨迹面，称为定瞬轴锥面。刚体连续作定点运动的过程中，连续变化的瞬轴在动参考系中所形成的轨迹面，称为动瞬轴锥面。

结论与讨论

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