Bi-CR 法の積型解法への準最小残差アプローチの適用

Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用南　さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻　

発表の流れ 1. 研究の背景　　大規模線型方程式の数値解法（Krylov部分空間法） 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用　　・ Bi-CG法系統への適用：TFQMR法、QMRCGSTAB法　　・Bi-CR法系統への適用：各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題

積型解法 積型解法連立一次方程式の数値解法 Krylov部分空間法 Bi-CG法 CG法積型解法 Bi-CR法 CR法積型解法 MINRES法 GMRES法

基底アルゴリズム （ランチョス原理、アーノルディ原理･･･）残差条件（Ritz-Galerkin条件、残差最小条件･･･） Krylov部分空間法 Krylov部分空間：１．基底　　　　　　　　　　　　　を生成２．近似解を構成

新たな解法 研究概要残差条件 PGアプローチ＋各積型解法の条件 QMRアプローチ＋ QMRアプローチ基底 CGS法 Bi-CGSTAB法 GPBi-CG法 TFQMR法 QMRCGSTAB法双ランチョス原理 × 積型部分 CRS法 Bi-CRSTAB法 GPBi-CR法 A-双直交原理 × 積型部分

Bi-CR部分：残差多項式 • 積型部分：加速多項式 Bi-CR法の積型解法定義：

Bi-CR部分： A –双直交原理 ：A-双直交原理の中で計算される (n+1)×nの三重対角行列 • 積型部分：積型原理：積型部分により計算される (n+1)×nの三重対角行列 Bi-CR法の積型解法基底アルゴリズム定義：

Bi-CR部分：Petrov-Galerkinアプローチ • 積型部分：各解法の条件 Bi-CR法の積型解法残差条件定義：

Bi-CR法の 積型解法の基底アルゴリズム QMR アプローチ Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用基底アルゴリズム残差条件 Bi-CR部分 Bi-CR部分 A-双直交原理 Petrov-Galerkin アプローチ新しい解法 Bi-CR法の積型解法積型部分積型部分各積型解法の条件積型原理

A-双直交原理 積型原理基底アルゴリズム：：対角要素　　　、下対角要素に　　　　を持つ(m+1)×m下三重対角行列 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用基底アルゴリズムの式

近似解 残差擬似残差 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 QMRアプローチ基底アルゴリズム：残差条件：準最小残差アプローチ

Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 各解法の定義パラメータ　　　　　の選び方によって各解法が導かれるの選び方 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

（Second QMR and update iterate) （First QMR and update iterate) QMRアプローチ Bi-CR法の積型解法

(Second QMR and update iterate) 各解法の分類 (First QMR and update iterate)

各解法の分類 の計算 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

実験環境

実験結果 –Matrix Market

Matrix Market SHERMAN5：油層シミュレーション

まとめ • QMRアプローチをBi-CR法の積型解法に適用する一般的な方法を示した • 数値実験よりTFCRQMR法は　・他の３解法に比べて高い精度・ CRS法よりも滑らかな収束性・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の　振る舞いを反映を示した

今後の課題 • QMRCRSTAB法・QMRGPBi-CR法に　ついても数値実験を行い、性能評価

Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用