CIĄGI

1. CIĄGI

2. Pojęcie ciągu liczbowego • Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich • Ciągiem skończonym k-wyrazowym nazywamy funkcję, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych liczb naturalnych 1,2,3,…, k. Jeżeli wartości tej funkcji są liczbami, to taki ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

3. W każdym z ciągów kolejne elementy powstają według pewnej ustalonej reguły, np.: itd…

4. Ciągi monotoniczne Ciągi monotoniczne to ciągi, które są albo rosnące, albo malejące, albo stałe.

5. a a n 1 n Ciąg rosnący Ciąg (an) nazywamy rosnącymwtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest większy od wyrazu go poprzedzającego, czyli gdy każdej dodatniej liczb naturalnej n spełniona jest nie równość:

6. Ciąg malejący Ciąg (an ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, czyli gdy dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest nierówność:

7. Ciąg stały Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest równy wyrazowi, który go poprzedza, czyli dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest równość:

8. Wniosek W celu zbadania monotoniczności ciągu (an ) wyznaczamy różnicę: an+1 –an i badamy jej znak.

9. Ciąg arytmetyczny Ciągiem arytmetycznymnazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, otrzymujemy przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby r. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi: Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

10. Ciąg arytmetyczny o różnicy r: • 1) jest rosnący, gdy r > 0 • 2) jest malejący, gdy r < 0 • 3) jest stały, gdy r = 0 Jeżeli (an ) ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi: Każdy wyraz nieskończonego wyrazu ciągu arytmetycznego (oprócz wyrazu pierwszego) jest średnią arytmetyczną jego dwóch sąsiednich wyrazów (poprzedniego i następnego).

11. Twierdzenie Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi :

12. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Niech dany będzie ciąg (an) o wyrazach:

13. Symbolem Sn oznaczamy n-tą sumę częściową ciągu (an), czyli sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu pierwszego do n-tego włącznie. Zatem:

14. Twierdzenia Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem: Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie początkowym a1 i różnicy r, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem: Sn =

15. Ciągi geometryczne Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez tę samą liczbę q. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi: Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

16. Ciąg geometryczny o wyrazie początkowym a1 i ilorazie q jest: • naprzemienny, gdy: • 2) stały, gdy: • 3) rosnący, gdy: • 4) malejący, gdy:

17. Wniosek Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i wyrazach różnych od zera, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

18. Wniosek Zatem aby stwierdzić, czy dany ciąg o wyrazach różnych od zera jest geometryczny, należy sprawdzić, czy iloraz jego kolejnych wyrazów jest stały.

19. Twierdzenie Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

20. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

21. KONIEC CYC ARKADIUSZ