平行关系的性质与判定

平行关系的性质与判定

一．知识点 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

二．典例分析 例1。在正方体AC1中，E为BC中点，求证：BD1∥平面C1DE 证明：思考:能不能用面面平行推出线面平行来解题?

解析：在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，经常通过中位线定理来找（或作）一条直线与已知直线平行。解析：在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，经常通过中位线定理来找（或作）一条直线与已知直线平行。练习：学海舵手P130 9

例2．如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.例2．如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE. • 证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE， • P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。 • ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， • ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° • ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ • ∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 • ∴MN∥PQ • ∵PQ在平面BCE，MN在平面BCE外， • ∴MN∥平面BCE。

解析：在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，经常作出经过这条直线的某一平面（较常作平行四边行）与已知平面的交线，并证明其与已知直线平行。解析：在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，经常作出经过这条直线的某一平面（较常作平行四边行）与已知平面的交线，并证明其与已知直线平行。

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴ • ∴连结NH，由BF=AC，FN=AM， • 得 • ∴ NH//AF//BE • 由MH//BC, NH//BE • 得平面MNH//平面BCE • ∴MN∥平面BCE。 • 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE • ∴MN∥平面BCE。解析：面面平行推出线线平行

例3．正方体中，若M，N，E，F分别为棱 的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。证明：正方体中，MN//EF 连结NE 因为N，E分别是的中点，所以NE A1B1 AB 所以NEBA为平行四边形，所以AN//BE 又AN，NM相交且在面AMN内， EF，BE在面EFDB内所以平面AMN//平面EFDB

练习，练习，再练习！ • 练习：P129 例4的变式五．作业学海舵手P130 1，2，3，4，10

平行关系的性质与判定

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