Download
1 / 22
220 likes | 473 Views
Tiesin ė Erdv ė. Tiesin ė Erdv ė. Pails ė kime. Tiesinė erdvė. Tegu A — kūnas, n ≥ 1 — sveikasis skaičius. Aibė V ⊂ A n vadinama tiesine erdve virš A, jei v, u ∈ V ⇒ av + bu ∈ V ∀ a, b ∈ A. Pavyzdys:. Pagal apibrėžimą nesunku patikrinti, kad V =
E N D
TiesinėErdvė Pailsėkime
Tiesinė erdvė Tegu A — kūnas, n ≥ 1 — sveikasis skaičius. Aibė V ⊂ An vadinama tiesine erdve virš A, jei v, u ∈ V ⇒ av + bu ∈ V ∀ a, b ∈ A.
Pavyzdys: Pagal apibrėžimą nesunku patikrinti, kad V = {000, 011, 101, 110} yra tiesinė erdvė virš F2.
Pastabos! • Nulinis vektorius visada priklauso tiesinei erdvei V , nes pagal apibrėžimą bet kuri erdvės V vektorių u ir v tiesinė kombinacija priklauso V , tuo pačiu ir 0 · u + 0 · v = 0 ∈ V . 2. Dvinariu atveju tiesinės erdvės apibrėžimo sąlyga tampa v, u ∈ V ⇒ v + u ∈ V. (2.4)
Vis dar pastabos! Iš tikrųjų, dvinariu atveju a ir b gali įgyti tik dvi reikšmes — 0 ir 1, todėl tėra keturios galimostiesinės kombinacijos: 0 · u + 0 · v = 0, 0 · u + 1 · v = v, 1 · u + 0 · v = u, 1 · u + 1 · v = u + v. Antra ir trečia priklauso V pagal sąlygą, todėl lieka patikrinti, ar 0 ∈ V ir ar teisinga (2.4)sąlyga. Bet pastebėkime, kad sąlyga 0∈ V išplaukia iš (2.4)sąlygos, nes iš pastarosiosgauname, kad 0 = u + u ∈ V . Todėl lieka tik (2.4) sąlyga.
Pastabų pabaiga! Tiesinės erdvės V vektorių rinkinys u1, . . . , us vadinamas tiesiškai nepriklausomu, jei (a1u1 + · · · + asus = 0, ai ∈ A ∀i) ⇒ (a1 = · · · = as = 0). Šį apibrėžimą galima suformuluoti ir iš kitos pusės: tiesinės erdvės V vektorių rinkinys u1, . . . , usvadinamas tiesiškai nepriklausomu, jei bet kokia tiesinė jų kombinacija su bent vienu nenuliniukoeficientu yra nenulinis vektorius: (ai ∈ A ∀i ir ∃i : ai ≠ 0,1 ≤ i ≤ s) ⇒ (a1u1 + · · · + asus ≠ 0).
Namų darbai • Rinkinysišvienovektoriausyratiesiškaipriklausomastadairtiktada, kaitas vektoriusyranulinisvektorius. 2. Jei nulinis vektorius priklauso vektorių rinkiniui, tai tas vektorių rinkinys yra tiesiškai priklausomas. 3. Vektorių rinkinys yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai kuris nors to rinkinio vektorius yra likusių vektorių tiesinė kombinacija. • Dviejų nenulinių vektorių u, v rinkinys yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai egzistuoja a ∈ A toks,kadu=av. • Dviejų dvinarių nenulinių vektorių u, v rinkinys yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai tie vektoriai lygūs. • Jei vektorių aibė yra tiesiškai nepriklausoma, tai bet koks netuščias jos poaibis irgi yra tiesiškai nepriklausomas.
Bazė Tiesinės erdvės V tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys u1, . . . , us vadinamas erdvės V baze, jeikiekvieną erdvės V vektorių galima išreikšti vektorių u1, . . . , us tiesine kombinacija, t. y. ∀v ∈ V ∃a1, . . . , as ∈ A : v = a1u1 + · · · + asu s.
Pavyzdys: Tiesinės erdvės iš pavyzdžio (Pagal apibrėžimą nesunku patikrinti, kad V = {000, 011, 101, 110} yra tiesinė erdvė virš F2.) bazė yra {011, 101}. Be to, aibės {011, 110} ir {101, 110} taip pat yra šios erdvės bazės.
Teorema: Tarkime, V ⊂ Anyra tiesinė erdvė. Tada V turi bazę, sudarytą iš ne Daugiaukaip n vektorių. Jei ji sudaryta iš s vektorių, tai: • Bet koks vektorių iš V rinkinys, sudarytas iš s + 1 vektoriaus, yra tiesiškai priklausomas. 2. Kiekviena V bazė yra sudaryta iš s vektorių. 3. Bet kurie s tiesiškai nepriklausomi V vektoriai sudaro V bazę. • Kiekvienas tiesinės erdvės V vektorius vienareikšmiškai išreiškiamas bazės vektorių tiesinekombinacija. Erdvės V dimensija, žymima dim V , yra bazės vektorių skaičius s.
