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第四节　无穷小的比较

第一章 函数 极限 连续. 第四节　无穷小的比较. 定义 设  ( x ) 和 b ( x ) 为 ( x → x 0 或 x →  ) 两个无穷小量. 即. 若它们的比有非零极限 ，. 则称  ( x ) 和 b ( x ) 为同阶无穷小. 若 c = 1 ， 则称  ( x ) 和 b ( x ) 为等价无穷小量 ，. 并记为  ( x ) ~ b ( x ) ， ( x → x 0 或 x →  ). 例如，在 x → 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量，. 且.

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第四节　无穷小的比较

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  1. 第一章 函数 极限 连续 第四节　无穷小的比较

  2. 定义设(x) 和b(x)为(x → x0或x → )两个无穷小量. 即 若它们的比有非零极限， 则称(x)和b(x) 为同阶无穷小. 若c = 1，则称(x) 和b (x) 为等价无穷小量， 并记为(x) ~b (x)，(x → x0 或x → ) .

  3. 例如，在 x → 0时 sin x 和 5x 都是无穷小量， 且 所以当 x → 0时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量. x，sin x，tan x， 1-cos x，ln(1 +x)等都是无穷小量. 又如，因为在 x → 0时，

  4. 并且 所以，当 x → 0时， x与 sin x， x 与 tan x， x 与 ln(1 + x ) 都是等价无穷小量， 即 x~ sin x， x~ tan x， ln(1 + x) ~x.

  5. 定义设(x) 和b(x) 为 x → x0 (或x → )时的无穷小量， 若它们的比的极限为零，即 则称当x → x0 (或x → )时，(x) 是b(x) 的高阶无穷小量， 或称b(x) 是(x) 的低阶无穷小量，记为(x) = o (b(x)). 例如， x2, sinx 都是 x → 0时的无穷小量, 且 所以，当 x →0时， x2是 sinx 的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x).

  6. 存在(或无穷大量)， 且 则 定理1设(x) ~ 1(x)，b(x) ~ b1(x)， 并且 也存在或(无穷大量)，

  7. 证 由定理条件可知 因此有 即可仿上面的证法 .

  8. 例1 解　因为 x →0时， ln (1 + x) ~ x， ex- 1 ~ x， 所以

  9. 例2 解　因为 x →0时， 所以 tan 5x ~ 5x，

  10. 例4 解

  11. 若直接用 x代替 tanx 及 sinx， 则 是错误的. 　　因为，虽然 tanx  x，sinx  x，但 tanx- sinx  0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的.

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