Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

1. Systèmes d’équations du premier degré à deux variables Résolution par méthodes algébriques : - méthode de comparaison; - méthode de substitution; - méthode de réduction. Remarque : Tu devrais visionner « Systèmes d’équations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.

2. y1 = ax + b y2 = ax + b ax + by1 + c = 0 y2 = ax + b ax + by1 = c ax + by2 = c Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables, de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes. La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations : La méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation : La méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée :

3. Salaires comparés 13 12 11 Montant gagné ($) 10 9 y2 = 2x + 5 À ce point précis, 8 7 6 5 y1 = 3x + 2 4 3 2 1 0 5 0 1 2 3 4 Nombre de planches Par résolution algébrique les deux équations sont égales. En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

4. y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 La méthode de comparaison On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations. Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 alors 3x + 2 = 2x + 5 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 3x + 2 = 2x + 5 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

5. y2 = ax + b ax + by1 + c = 0 y2 = x – 2 4x + 2y1 – 8 = 0 La méthode de substitution On utilise la méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation. Exemple : Dans le plan cartésien, on trace deux droites d’équations. On voudrait connaître les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

6. Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 On substitue dans la 2e équation la variable par l’expression qui lui est égale. x - 2 y2 = x - 2 y1 ( ) 4x + 2 - 8 = 0 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 4x + 2(x - 2) - 8 = 0 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. 4x + 2x - 4 - 8 = 0 6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

7. y = 0 = x - 2 2 - 2 x = 2 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations. Donc, x = 2 et y = 0 Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation. 4x + 2y – 8 = 0 4 X 2 + 2 X 0 – 8 = 0 Couple solution : (2 , 0)

8. Problème Quel est le couple solution du système suivant ? y - 8 x = y + 3 x ( ) - 20 = 0 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. y + 3(y - 8) - 20 = 0 On peut alors isoler y pour trouver sa valeur. y + 3(y - 8) - 20 = 0 y + 3y - 24 - 20 = 0 4y - 44 = 0 4y = 44 y = 11

9. y = 11 Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations. x = y - 8 x = 11 – 8 x = 3 Donc, x = 3 et y = 11 Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation. y + 3x – 20 = 0 11 + 3 X 3 – 20 = 0 Couple solution : (3 , 11)

10. 2x + 3y = 13 x - 2y = - 4 ax + by1 = c ax + by2 = c La méthode de réduction On utilise la méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée. Exemple 1 : On crée un système équivalent.

11. 1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par unfacteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés. 2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 Démarche 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 -2x + 4y = 8 ( ) = X -2 Nouveau système : 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. + 7y = 21 3) On peut alors isoler la variable : y = 3

12. y = 3 4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ. x - 2y = -4 x - 2 X 3 = -4 x - 6 = -4 x = 2 Donc, x = 2 et y = 3 5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation. 2x + 3y = 13 2 X 2 + 3 X 3 = 13 Couple solution : (2 , 3)

13. 5x + 8y = 29 3x + 6y = 21 1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par unfacteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés. ( 5x + 8y = 29 ) ( 3x + 6y = 21 ) 15x + 24y = 87 -12x – 24y = -84 Exemple 2 : On doit trouver le couple solution du système suivant : = 15x + 24y = 87 X 3 = -12x – 24y = -84 X -4 Nouveau système :

14. 15x + 24y = 87 -12x – 24y = -84 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. + 3x = 3 x = 1 3) On peut alors isoler la variable : 4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations de départ. 3x + 6y = 21 3 X 1 + 6y = 21 3 + 6y = 21 6y = 18 y = 3

15. Donc, x = 1 et y = 3 5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation. 5x + 8y = 29 5 X 1 + 8 X 3 = 29 Couple solution : (1 , 3) On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales. Remarque : Donc, avec l’une ou l’autre des 3 méthodes, on peut travailler, en premier, soit avec x soit avec y.

16. Problèmes En 1996, la population de Saint-Jérôme dans les Laurentides, comptait près de 25 600 habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devrait croître de 1 000 personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait 32 400 la même année; on envisageait un taux d’accroissement de 600 personnes par année. A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ? B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ? C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ? 1ère étape : Identifier les variables : x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 y : le nombre de personnes 2e étape : y1 = 1 000 x + 25 600 Établir le système : et y2 = 600 x + 32 400

17. 3e étape : Résoudre le système : y1 = 1 000 x + 25 600 y2 = 600 x + 32 400 Ici, la méthode de comparaison est préférable. 1 000 x + 25 600 = 600 x + 32 400 400 x = 6 800 x = 17 4e étape : Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations. y1 = 1 000 x + 25 600 y1 = 1 000 X 17 + 25 600 y1 = 42 600

18. 5e étape : Valider la solution avec l’autre équation : y2 = 600 x + 32 400 y2 = 600 X 17 + 32 400 y2 = 42 600 Ensemble-solution : (17, 42 600) A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ? x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 = 17 ans Réponse : en l’année 2 013 B) Combien d’habitants comptera alors chacune de ces municipalités ? Réponse : 42 600 personnes

19. C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ? Il n’est pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question. Il suffit de calculer le nombre d’années écoulées depuis 1 996 : 2 010 – 1996 = 14 ans Puis, utiliser l’équation représentant l’augmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer : y1 = 1 000 x + 25 600 y1 = 1 000 X 14 + 25 600 y1 = 39 600 Réponse : 39 600 personnes

20. il faudra multiplier par 8 le nombre de partisans de l’équipe adverse. L’assistance à un match de baseball est de 45 000 personnes. On constate qu’il y a 8 fois plus de partisans et partisanes de l’équipe locale que de l’équipe adverse. Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ? 1ère étape : Identifier les variables : x : le nombre de partisans de l’équipe locale y : le nombre de partisans de l’équipe adverse Établir le système : 2e étape : x = 8y Attention : Les partisans de l’équipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de l’équipe adverse. Pour créer l’égalité, Si x = 16 et que y = 2, alors x = 8y Exemple : 16 = 8 X 2

21. 2e étape : x = 8y Établir le système : et x + y = 45 000 3e étape : Résoudre le système : x = 8y x + y = 45 000 Ici, la méthode de substitution est préférable. x = 8y 8y x + y = 45 000 9y = 45 000 y = 5 000 4e étape : Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations. x = 8y x = 8 X 5 000 x = 40 000

22. 5e étape : Valider la solution avec l’autre équation. x + y = 45 000 40 000 + 5 000 = 45 000 Couple solution : (40 000, 5 000) Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ? Réponse : 40 000 partisans et partisanes

23. Cette équation ne tient compte que des pièces. Cette équation tient compte de la valeur des pièces. Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme qu’il a amassée, il constate qu’il possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00 $ et 2,00 $ pour un total de 51,00 $. Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ? 1ère étape : Identifier les variables : x : le nombre de pièces de 1,00 $ y : le nombre de pièces de 2,00 $ x + y = 38 pièces 2e étape : Établir le système : 1x + 2y = 51 dollars et

24. - x - y = - 38 1x + 2y = 51 - x - y = - 38 + 1x + 2y = 51 3e étape : Résoudre le système. x + y = 38 1x + 2y = 51 Ici, la méthode de réduction est préférable. - x - y = - 38 x + y = 38 ( ) = X -1 1x + 2y = 51 Nouveau système : On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable : y = 13

25. y = 13 Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ. 4e étape : x + y = 38 x + 13 = 38 x = 25 5e étape : Valider la solution avec l’autre équation. 1x + 2y = 51 1 X 25 + 2 X 13 = 51 Ensemble-solution : (25 , 13) Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ? Réponse : 13 pièces

26. x + y = 38 1x + 2y = 51 y = 38 – x 1x + 2y = 51 y = 38 - x 38 – x = -x + 51 2 2 y = -x + 51 2 2 Remarque : Dans ce problème, On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution. 1x + 2( 38 – x ) = 51 On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison. La méthode à utiliser dépend de l’écriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail. N’importe quelle méthode est bonne.

27. 13 12 11 y2 = 2x + 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 0 1 2 3 4 y1 = 2x + 3 Remarque Certains systèmes ont des ensembles-solution particuliers. Exemple Dans le système suivant : y1 = 2x + 3 y2 = 2x + 5 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution : aucun

28. 13 y = 2x + 4 12 11 2x – y + 4 = 0 2x – y + 4 = 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 0 1 2 3 4 y = 2x + 4 Exemple Dans le système suivant : Il y aura une infinité de solutions. En effet, si on ramène la 2e équation sous la forme fonctionnelle. 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4 On constate que les taux de variation et les ordonnées à l’origine sont les mêmes. Les droites sont donc confondues. Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.