第八章习题课

第八章习题课 多元函数微分学

一基本要求 1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。

7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。 8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。

二要点提示 注意1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别（一）函数的概念 1.点函数的定义：设是一个点集，如果对于每一点变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是点的函数，记为

当时， 为一元函数； • 当时，为二元函数； • 当时，为三元函数； … … • 当时，为元函数。

2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数。 • 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

（二）偏导数与全微分 1．偏导数（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限。

（2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数。 2．全微分微分公式：

（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系 • 一元函数：可导函数可微，一元函数：可导连续， • 多元函数：偏导数连续函数可微多元函数连续函数的偏导数存在。

（四）多元函数微分法 1．多元复合函数求导法（1）链式法则链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行。

设则是的复合函数.

求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示. 称为全导数.

注意：

2．隐函数求导法： 方法1 对方程两端求（偏）导数，然后解出所求（偏）导数方法2 隐函数的求导公式：设是由方程所确定的隐函数，则

（五）微分法在几何上的应用 1．空间曲线的切线及法平面（1）设空间曲线：是曲线上一点，其相应的参数为，则曲线在点处切向量为

曲线在点处的切线方程为 曲线在点处的法线方程为

若曲线的方程表示为 则在点处切向量为

2．曲面的切平面及法线 （1）设曲面方程为（隐函数形式）为曲面上一点，则曲面在点处的法向量为

切平面方程为 法线方程为

（2）若曲面方程为（显函数形式） 则可写为隐函数形式曲面上点的法向量为

（六）方向导数与梯度 • 方向导数的定义 2．计算公式：若可微，则其中为轴正向到方向的转角

若可微,则 其中 ﹑ ﹑ 为方向的方向角。注意: 方向导数存在偏导数存在

3. 梯度： 设在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，向量称为在点的梯度。梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

（七）函数的极值﹑最大值和最小值 1．极值的必要条件：若在点处有极值，则这时称为驻点。 • 驻点不一定是极值点

2．充分条件： 设在驻点的某邻域内有连续的二阶偏导数，记（1）当时，是极值。，极小值；，极大值；（2）当时，不是极值；（3）当时，不能确定。

拉格朗日函数为 3．条件极值：函数在条件下的极值称为条件极值。求条件极值的方法： (1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题； (2)可以用拉格朗日乘数法。

4．函数的最大值和最小值 • 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值， 2.求出在的边界上可能的最大值﹑最小值, 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。 • 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点。

三例题分析 （一）求定义域和极限 1. 2.讨论极限

答案: 1. 2. (1) 令 (2)设沿直线趋近于(0,0) 极限不存在

（二）求偏导数和全微分: 1. 求一阶偏导数及全微分. 2. 求 3.

答案

4. 5. 6. 7. 具有连续偏导数，求偏导数.

答案:

（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线曲线的切线和法平面（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线曲线的切线和法平面 1.求曲线在点处的切线方程及法平面方程. 2.作一平面与直线垂直且与球面相切.

答案： 1.方程组确定隐函数即曲线，其切向量为切线方程：法平面方程：

2.设切点为 则法向量为: 所求平面的法向量方法1 所求平面设为由点到平面的距离公式，有所求平面：

方法2 代入曲面，得所求方程为即

（四）多元函数的极值和最值 将正数分成三个正数之和,使得最大. 方法1 得唯一驻点: 由题意知结论.

方法2. 用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数: 令解得由题意即为所求.

5. 设具有二阶偏导数, 练习题

附练习：关于多元复合函数的偏导数: 例1设求解同理,

例2 设求 解

幂指函数 幂指函数的求导公式:将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数当作指数函数求导. 例可与对数求导法对比.

例4设 解设则

例5设 求解注意区别与

第八章 习题课