第六章图的着色

第六章图的着色

图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本章只讨论简单图的顶点着色。图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本章只讨论简单图的顶点着色。第六章图的着色 [例]假设要安排6个期末考试，要避免一个学生在同一天参加两个考试，试问最少需要安排几天进行期末考试？例如，用矩阵表示,(a , b)=1表示有学生同时参加a和b考试。

[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜色。[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜色。 a f b c e d 第六章图的着色

[着色]图 G=(V,E) 的一个k顶点着色指用k种颜色对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶点的颜色都不同，则称该着色正常，或称G存在一个正常的k顶点着色（或称一个k着色）。此时称G为k-可着色的。 [色数]使 G=(V,E) k-可着色的最小k值称为G的色数，记为 (G)。若 (G)=k，称G为k色图。 6.1 色数

[例] 6.1 色数

特殊图的色数 ① 零图：(G)=1 ② 完全图Kn：(G)=n ③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数 (G)=3 若|V|是奇数 ④ G是一棵非平凡树： (G)=2 ⑤ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为奇数的回路。（此时G为二部图） ⑥ 若G1、G2为G的两个连通分支，则 (G)=max{(G1), (G2)} 6.1 色数

[定理]对G=(V,E)， =max{deg(vi)|viV}，则 (G)  +1。 [证明]对于结点数使用归纳法，证明G是(+1)-可着色的。 [定理] (Brooks)设G=(V,E) 是简单连通图，但不是完全图，不是奇数长度圈， =max{deg(vi)|viV}3，则 (G)  , 即G是-可着色的。定理给出了色数的一个上限，但很不精确。Brooks定理也说明只存在两类满足(G) =+1的图。 [例]二部图可2着色，但是可以相当大。 6.1 色数

[Hajós猜想]若G是n色图，则G包含Kn的一个同胚图。[Hajós猜想]若G是n色图，则G包含Kn的一个同胚图。 n=1,2显然，n=3,4已证，其他未决。 [四色猜想]任何平面图都是 4-可着色的。由于存在着不可3-着色的平面图K4，4色问题若可证明，将是平面图色数问题的最佳结果。 [五色定理]任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]（1890，Heaword） 6.1 色数

v1 v1 v5 v5 v2 v2 v v v3 v3 v4 v4 五色定理证明对结点数n归纳。假定<n个结点的平面图可5着色。当G有n个结点时，必有一个结点v其度数<6. 不妨设 dev(v)=5, 其邻接点是v1,…,v5. 至少有两个结点不相邻，否则G包含K5, 是非平面图。设v1,v3不相邻，将v1,v3”拉至v”与v合并，其结点数<n, 故可5 着色。现在将v1,v3”从中拉出”，v1,v3着色不变，此时v1,v2,…,v4着4种颜色，故v可着第五种颜色。

6.1 色数 [定理] G=(V,E) 为简单图，vi, vj为其中不相邻顶点。为在G中添加边(vi, vj) 得到的图，为在G中合并vi, vj，其他顶点与其关系不变，并合并多重边（称为收缩 vi, vj）得到的图。则有： (G)=min(( ), ( )) [证明] ij i i [例 j j G

6.1 色数 [例]如图，求 (G)。 (K5)=5 (K4)=4 (K4)=4 (K3)=3

[定义]对给定的图 G=(V,E) ， PG(k)表示以k种颜色给G进行正常着色的方案数目。两种方案相同：同一个结点着同一种颜色。可以用结点集到颜色集的函数表述。当 k< (G)时, 不可能进行正常着色, 此时PG(k)=0。当 k(G)时， PG(k)>0。 4色猜想：对平面图G, PG(4)>0（存在4-着色方案）例如，PK3(3)=6 6.2 色数多项式

PK3(3)=6 a a a a a a b b b b b b c c c c c c 6.2 色数多项式

若干特殊图的 PG(k) 零图： G=(V,E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 树：根节点在K种颜色中任取，非根节点选取与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 6.2 色数多项式

[定理6-2-1]设简单图G，和 分别如前所述，并记 P1(k) 和P2(k)为和的k染色方案数，则 PG(k)= P1(k)+P2(k) [证明] [推论1]对任何图G=(V,E)，n=|V|，m=|E|，PG(k)都是k的整系数n次多项式，且：① 首项为kn； ② 次项为-mkn-1； ③ 常数项为0； ④各项系数的符号正-负交替。 [证明] [留作习题] 6.2 色数多项式

[推论1]证明了函数PG(k) 具有多项式形式。 [色数多项式]上述函数 PG(k)称为图G的色数多项式。 6.2 色数多项式

[减边法] 求给定图G的色数多项式 原理：由[定理6-2-1]，P1(k) = PG(k) -P2(k) PG(k)和P2(k) 对应的G和都是边数比少的图。 ① 在图G中任取一边e； ② 在图G中去掉e，得新图G1 在图G中收缩e的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k) ③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用n阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。 6.2 色数多项式

[例]如图，求其色数多项式。 6.2 色数多项式 • 减边法比较适合于求稀疏图的色数多项式。

[加边法]求给定图G的色数多项式 原理：由[定理6-2-1]， PG(k) = P1(k) + P2(k) P(k)1和 P2(k) 对应图和。 ① 在图G中任取两个不相邻顶点u, v； ② 在图G中加上 (u,v)，得新图G1，在图G中收缩 (u,v)，得新图G2，由上述讨论有 PG(k) = PG1(k) + PG2(k) ③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为完全图。 ④ 利用n阶完全图的 P(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 构造图G的色数多项式。 6.2 色数多项式

[例]如图，求其色数多项式。 6.2 色数多项式 • 加边法比较适合于求稠密图的色数多项式。 • 能否判断一个多项式为某一个图的色数多项式？ • [练习] • 1. 说明k4-3k3+k2不是色数多项式。 • 2. 证明n个结点的树的色数多项式是k(k-1)n-1.

6.3 独立集、支配集和覆盖集 同色结点构成的结点集：结点互不相邻　红色结点集构成一个独立集

[独立集]图 G=(V, E) ，BV，若B中任意两个顶点都不相邻，则称B为G的一个点独立集（独立集）。 b a c [例] 独立集： {b,d},{b,f },{a,c},{b,d,f }, … d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集

[极大独立集] B为G的一个极大独立集 B为G的一个独立集(u)(uV-BB{u}不是G的独立集) [独立数]设G的所有独立集为B1、 B2、… 、 Bk，记 6.3 独立集、支配集和覆盖集称为G的独立数。 [最大独立集] G的一个独立集Bi称为G的一个最大独立集若 |Bi| = 0。

[例] b a c d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集独立集：{b,d},{b,f },{a,c}, {b,d,f }, … 极大独立集： {a,c},{b,e},{b,d,f } 最大独立集： {b,d,f } 0= 3 • 求最大独立集问题是NP完全的。

[支配集]图G=(V,E)，KV，若G的任何顶点或属于K，或至少与K中一点邻接，则称K为G的一个支配集。[支配集]图G=(V,E)，KV，若G的任何顶点或属于K，或至少与K中一点邻接，则称K为G的一个支配集。 b a c d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集 [例] 支配集： {a,c},{b,e},{b,d,f}, {a,b,c},{a,b,c,d,e,f}, …

[极小支配集] K为G的一个极小支配集K为G的一个支配集(K1)(K1KK1不是G的支配集) [支配数]设G的所有支配集为A1、A2、… 、Ak，记 6.3 独立集、支配集和覆盖集称为G的支配数。 [最小支配集] G的一个支配集Ai称为G的一个最小支配集若 |Ai| = 0 。

[例] b a c d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集支配集：{a,c},{b,e},{c,f},{b,d,f}, {a,b,c},{a,b,c,d,e,f}, … 极小支配集： {a,c},{b,e},{c,f}, {b,d,f} 最小支配集： {a,c},{b,e},{c,f} 0 = 2

[定理6-3-1]设G=(V,E)无孤立点，则： ① G的一个极大独立集必也是G的一个极小支配集； ②0 0 ； ③ 若S为G的一个独立集，则V-S为G的一个支配集； 6.3 独立集、支配集和覆盖集

[点覆盖]图G=(V,E)，KV，若G的任何一条边都与K中顶点关联，则称K为G的一个点覆盖（集）。[点覆盖]图G=(V,E)，KV，若G的任何一条边都与K中顶点关联，则称K为G的一个点覆盖（集）。 K为G的一个点覆盖  KV(e)(e=(u,v)E uKvK) b a c d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集 [例] 点覆盖： {a,b,c,e},{a,b,c,d,e}, {a,c,e}, …

[极小点覆盖] K是G的一个极小点覆盖 K为G的一个点覆盖(K1)(K1KK1不是G的点覆盖) [点覆盖数]设G的所有点覆盖为C1、C2、… 、Ck，记 6.3 独立集、支配集和覆盖集称为G的点覆盖数。 [最小点覆盖] G的一个点覆盖Ci称为G的一个最小点覆盖若 |Ci| = 0 。

[例] b a c d f e 6.3 独立集、支配集和覆盖集点覆盖：{a,b,c,d,e},{a,b,c,e}, {a,c,e}, … 极小点覆盖： {a,c,e},{b,d,e,f}, {a,c,d,f} 最小点覆盖： {a,c,e} 0 = 3

[定理6-3-2]设图G=(V,E)无孤立点，CV，则：C为G的一个点覆盖 V-C为G的一个独立集。 [证明]［练习］ [推论1] G如上所述，CV，则：C为G的一个极小点覆盖  V-C是G的一个极大独立集。 [证明]［练习］ [推论2] G如上所述，n=|V|，则 0+ 0 = n 。 [证明] 6.3 独立集、支配集和覆盖集

[团]设图G=(V,E)，WV称为一个团(clique)，如果W的任意两点邻接，或者说生成子图G[W]是一个完全图。[团]设图G=(V,E)，WV称为一个团(clique)，如果W的任意两点邻接，或者说生成子图G[W]是一个完全图。 W 是G一个的团当且仅当W是Gc的独立集。判定一个图是否包含给定大小团的问题是NP完全的。图G的团数(G)具有最大结点数的团的结点数。例，求(Pn) = ?, (Cn)= ? 6.４　　团与Ramsey定理　

如果G没有大的团，是否有大的独立集？ Ramsey证明：对于任意正整数r,s, 存在一个最小整数R(r,s)使得任意具有R(r,s)个结点的图或者有一个r个结点的团或者有s个结点的独立集。或者说：对于任意有R(r.s)个结点的完全图，用红、蓝两种颜色给边着色，必然存在一个红色的Kr或者一个蓝色的Ks 例如，R(1,s)=R(r,1)=1, R(2,s)=s, R(r,2)=r R(3,3) = 6 6.4 Ramsey定理

6.4 Ramsey数 s: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r 1 2 3 4 Current known Ramsey numbers (?)

对于r+s使用归纳法。 只需证明 [定理]对于任意正整数r2,s2, R(r,s)R(r-1,s)+R(r,s-1). 如果R(r-1,s)和R(r,s-1)均是偶数，则不等号成立。 [证明] 6.4 Ramsey定理证明

设G是一个具有R(r,s-1)+R(r-1,s)个结点的图, v是一个结点. 根据抽屉原则, 分两种情况 (1) v至少与R(r,s-1)个结点的集合S不邻接,或者 (2) v至少与R(r-1,s)个结点的集合T邻接; 否则, G的结点数<R(r,s-1)+R(r-1,s). 对于(1), G[S]或者存在一个r个结点的团,或者存在一个s-1个结点的独立集, 故G[S+{v}]或者存在一个r个结点的团,或者存在一个s个结点的独立集, 定理成立. 对于(2), G[T]或者存在一个r-1个结点的团,或者存在一个s个结点的独立集, 故G[T+{v}]或者存在一个r个结点的团,或者存在一个s个结点的独立集, 定理成立. 当R(r,s-1)和R(r-1,s)均为偶数时, 一个具有R(r,s-1)+R(r-1,s)-1(奇数)个结点的图必有一个偶数度结点v. 以上两种情况仍然成立, 因为v不可能正好与R(r-1,s)-1个结点相邻. 故有R(r,s)<=R(r,s-1)+R(r-1,s)-1.

例如， R(3,3)R(2,3)+R(3,2)=6, R(3,3)>5 R(3,4)<R(2,4)+R(3,3)=10, R(3,4)>8

(r,s）Ramsey图：具有R(r,s)-1个结点，不存在r-图，不存在s独立集(r,s）Ramsey图：具有R(r,s)-1个结点，不存在r-图，不存在s独立集

第六章 图的着色