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高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）

云南师范大学. 高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）. 第二章 欧氏平面的拓广. 2.1 中心投影 ( 透视 ) 与理想元素. 云南师范大学数学学院. 提 纲. 本章教材分析 一、中心射影 二、无穷远元素 三、拓广平面 四、射影直线、射影平面的基本 性质及模型 五、射影观点与仿射观点. 从中心投影引进平面内的理想元素，由此拓广欧氏平面，作为建立射影几何的基础。. 本章地位. 第二章 欧氏平面的拓广. 本章教材分析. 定义中心投影，引入齐次坐标，学习对偶原理以及复元素。. 本章内容. 排除传统习惯干扰，尽量掌握基本概念。. 学习注意.

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Presentation Transcript

  1. 云南师范大学 高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编） 第二章 欧氏平面的拓广 2.1中心投影(透视)与理想元素 云南师范大学数学学院

  2. 提 纲 • 本章教材分析 一、中心射影 二、无穷远元素 三、拓广平面 四、射影直线、射影平面的基本 性质及模型 五、射影观点与仿射观点

  3. 从中心投影引进平面内的理想元素，由此拓广欧氏平面，作为建立射影几何的基础。从中心投影引进平面内的理想元素，由此拓广欧氏平面，作为建立射影几何的基础。 本章地位 第二章 欧氏平面的拓广 本章教材分析 定义中心投影，引入齐次坐标，学习对偶原理以及复元素。 本章内容 排除传统习惯干扰，尽量掌握基本概念。 学习注意

  4. 图2.1 2.1中心投影(透视)与理想元素 一、中心射影 1.平面上两直线间的中心射影 定义 OA、OB ：投射线 A’、 B’ l 上的点A、B在l'上的像 A、 B l '上的点A' 、 B'在l上的原像 因此 ，φ–1: l‘ → l亦是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： R=l×l'自对应点(不变点) OP与l‘不相交，P为l上的没影点 OQ'与l不相交，Q'为l'上的没影点 没影点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射

  5. 图2.4 2.1中心投影(透视)与理想元素 一、中心射影 2.平面到平面的中心射影 定义 OP 投射线 P'π上的点P 在π'上的像 P π'上的点P'在π上的像 因此 ， 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： 自对应直线(不变直线) ，u为由没影点构成的没影线 ，v‘为由没影点构成的没影线 没影线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射。

  6. } 定义 均不是满单射 平面到平面的中心射影 定义 2.1中心投影(透视)与理想元素 一、中心射影 思考：平面上两直线间的中心射影 中心射影不是双射的原因：存在没影点、没影线 存在没影点、没影线的原因：平行的直线没有交点 如何使得中心射影成为一个满单射？ 给平行线添加交点！

  7. 目标： 改造空间，使得中心射影成为满单射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系 两条相异直线确定惟一一个点(交点) } 点与直线的结合关系 两个相异点确定惟一一条直线(连线) 2.1中心投影(透视)与理想元素 二、无穷远元素

  8. 2.1中心投影(透视)与理想元素 二、无穷远元素 约定1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同. 区别起见，称平面上原有的点为 通常点，记作P 约定2 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为通常直线，记作l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的结合关系，同时使得中心射影成为双射.

  9. 平 行 无穷远点 两直线 平面上任二直线总相交 交于惟一 不平行 普通点 2.1中心投影(透视)与理想元素 理解约定1 1.对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2.每一条直线上有且仅有一个无穷远点. 3.平面上添加的无穷远点个数＝过一个普通点的直线数. 4.不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于普通直线： 5.任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.

  10. 2.1中心投影(透视)与理想元素 理解约定2 1.无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2.每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点且为该直线上的无穷远点. 3.每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4.每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 平 行 无穷远直线 两平面 交于惟一 不平行 普通直线 空间中任二平面必相交于唯一直线

  11. 2.1中心投影(透视)与理想元素 三、拓广平面 添加了理想元素的欧氏平面称作拓广平面. 约定：普通点和无穷远点统称为点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为射影（仿射）直线； 添加无穷远直线后的平面称为射影（仿射）平面. • 注意：在射影平面上, 点与直线的结合关系成立. • (1) 两个相异的点确定惟一一条射影直线； • (2) 两条相异的射影直线确定惟一一个点. • 引入无穷远点以后，平行射影成了中心射影的一个特例。

  12. 2.1中心投影(透视)与理想元素 四、射影直线、射影平面的基本性质及模型 1. 射影（仿射）直线 (1) 射影直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 射影直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点

  13. 2.1中心投影(透视)与理想元素 (2) 射影直线的拓扑模型 • 欧氏平面上的圆以O为束心的线束与直线l上的点构成一一对应，由于线束无边缘直线，所以，要把射影直线看作闭合的。 (ⅱ) 射影平面上的射影直线其拓扑模型为一个圆。

  14. 2.1中心投影(透视)与理想元素 (3) 射影直线上点的顺序关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。 点偶A,B分隔点偶C,D 点偶A,B不分隔点偶C,D

  15. 2.1中心投影(透视)与理想元素 四、射影直线、射影平面的基本性质及模型 2.射影平面 (1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域 在射影平面上，可以证明： I，II为同一区域 III，IV为同一区域

  16. 2.1中心投影(透视)与理想元素 四、射影直线、射影平面的基本性质及模型 2.射影平面 (1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (2) 射影平面的拓扑模型 (ii) 欧氏空间过原点的直线的集合 (i) 叠合对径点的球面 (iii) 叠合赤道上对径点的半球面 (iv) 叠合周界上对径 点的圆盘

  17. 2.1中心投影(透视)与理想元素 Möbius带

  18. 五、射影观点与仿射观点 • 如果把理想元素与普通元素看作没有任何区别，这种观点称为射影观点，相应的平面是射影平面，射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在。 • 如果将新补充的元素另眼看待，给他们保留特殊的身份和名称，这种观点称为仿射观点，相应的平面是仿射平面，仿射平面上有无穷远元素，平行线存在相交于无穷远处。 • 欧氏平面上没有无穷远元素，平行线存在而不相交。

  19. 高等几何第二章2.1节完

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