第 41 课时　操作探究型问题

考向互动探究 考向互动探究第41课时　操作探究型问题

图41－1 第41课时┃考向互动探究考向互动探究探究一、折叠剪拼操作探究型问题例1．[2013•北京]阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图41－1①所示，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．考向互动探究

第41课时┃考向互动探究 小明发现：分别延长QE、MF、NG、PH，交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W，可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图41－1②)．请回答： (1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________； (2)求正方形MNPQ的面积； (3)参考小明思考问题的方法，解决问题： a 考向互动探究

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例题分层分析(1)△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．例题分层分析(1)△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试． (2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积． (3)按图41－1的作法补全图41－2，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积．第41课时┃考向互动探究考向互动探究

第41课时┃考向互动探究 解析考向互动探究

解题方法点析　　此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．解题方法点析　　此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．第41课时┃考向互动探究考向互动探究

图41－3 第41课时┃考向互动探究探究二、中心对称操作探究问题例2．[2013•陕西]问题探究 (1)请在图41－3①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．考向互动探究

第41课时┃考向互动探究 问题解决 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．考向互动探究

例题分层分析(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？例题分层分析(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？ (2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？ (3)把正方形改为菱形呢？第41课时┃考向互动探究考向互动探究

解题方法点析　　平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．解题方法点析　　平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．第41课时┃考向互动探究考向互动探究

例3．[2013•山西改编]数学活动——求重叠部分的面积．例3．[2013•山西改编]数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图41－4，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G. 求重叠部分(△DCG)的面积．图41－4 第41课时┃考向互动探究探究三、平移旋转操作探究问题考向互动探究

图41－5 第41课时┃考向互动探究 (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图41－5，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程．考向互动探究

例题分层分析(1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角特征；例题分层分析(1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角特征； (2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？第41课时┃考向互动探究考向互动探究

解题方法点析　　此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．解题方法点析　　此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．第41课时┃考向互动探究考向互动探究

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