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密碼學與網路安全 第 8 章 數論介紹

密碼學與網路安全 第 8 章 數論介紹. 質數. 質數的因數只有 1 及自己 例如 2 、 3 、 5 、 7 是質數， 4 、 6 、 8 、 9 、 10 不是 質數是數論的主軸 小於 200 的質數： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199. 分解質數.

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密碼學與網路安全 第 8 章 數論介紹

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Presentation Transcript

  1. 密碼學與網路安全第8章 數論介紹

  2. 質數 • 質數的因數只有1及自己 • 例如2、3、5、7是質數，4、6、8、9、10不是 • 質數是數論的主軸 • 小於200的質數： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

  3. 分解質數 • 分解數值n，是將 n 寫成其他質數的乘積：n = a × b × c • 例如： • 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 ×32 ×52 • 以下是另一種有用的表達方式；若P是所有質數的集合，那麼任何正整數a都能用以下唯一的方式來表示：

  4. 互質與最大公因數（GCD） • 如果兩數值除了1之外沒有公因數，兩數則為互質 • 例如 8 和 15 互質，因為 8 的因數為 1、2、4、8、15的因數為 1、3、5、15；8 和 15 的公因數只有 1 • 如果將每個整數表示成質數的乘積，就很容易找出兩個正整數的最大公因數，例如 • 300 = 21 × 31 × 52 ；18 = 21 × 32因此最大公因數GCD(18,300)=21 × 31 × 50 = 6

  5. 費馬定理 • 若p為質數且gcd(a,p)=1 則 ap-1 = 1 (mod p) • 也稱為費馬小定理 • ap = p (mod p) • 費馬定理和尤拉定理在公開金鑰和質數測試扮演了重要的角色

  6. 證明: (中文本的證明部分翻得有問題) • 令X = {1a mod p, 2a mod p, …, (p1)a mod p} • a無法被p整除  0  X. • X中之元素均相異 (因為a和p互質，若 xa mod p = ya mod p，則x=y) • 所以X = {1, 2, …, p1} • a  2a  …  (p1)a mod p= (1a mod p 2a mod p  …, (p1)a mod p) mod p= (1 2 …  (p1)) mod p • a p1 (p1)! mod p = (p1)! mod p • a p1  1 mod p

  7. 尤拉函數ø(n) • 尤拉函數ø(n)的定義為小於n且與n互質的正整數之個數 • 通常 ø(1) = 1，請計算ø(37)和ø(35) • 對質數p而言： • 假設兩個質數 p 和 q，且 p ≠ q，若 n = pq： • 為了證明先假設有一個小於n的正整數集合{1, …, (pq - 1)}，集合裡不與n互質的整數是集合{p, 2p, …, (q - 1)p}和集合{q, 2q, …, (p - 1) q}。因此：

  8. 尤拉函數ø(n) • 計算 ø(37)：因為37為質數，所以1到36的所有正整數皆與37互質，因此 ø(37) = 36 • 計算 ø(35)：列出所有小於35且與35互質的正整數：1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 16 , 17 , 18 ,19 , 22 , 23 , 24 , 26 , 27 , 29 , 31 , 32 , 33 , 34以上共有24個數值，所以 ø(35) = 24 • 計算 ø(21)：ø(21) = (3–1)×(7–1) = 2 × 6 = 12其中的12個整數是 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20

  9. 尤拉定理 • 由費馬定理產生aø(n) = 1 (mod n) • 對a、n而言，gcd(a,n)=1 • 例如 • a=3;n=10; ø(10)=4; 因此 34 = 81 = 1 mod 10 • a=2;n=11; ø(11)=10; 因此 210 = 1024 = 1 mod 11

  10. 測試質數 • 許多密碼演算法必須隨機選取一或多個很大的質數 • 因此要確定所選取的大數是不是質數 • 但目前並沒有簡單而有效的判定方法

  11. 米勒－拉賓演算法Miller Rabin Algorithm • 測試的基礎是費馬定理 • 以下程序TEST的輸入為整數n TEST (n) 1. Find integers k, q, k > 0, q odd, so that (n–1)=2kq 2. Select a random integer a, 1<a<n–1 3. if aqmod n = 1then return (“inconclusive"); 4. for j = 0 to k – 1 do 5. if (a2jqmod n = n-1) then return("(“inconclusive") 6. return ("composite") n1必為偶數(why?) 請用此演算法測29、221是否為質數！

  12. 米勒－拉賓演算法的機率 • 如果n完全不符合質數的條件，TEST會傳回composite（合數） • 如果n可能為質數，TEST會傳回inconclusive（不確定），表示可能是質數 • 利用TEST測試非質數的奇數n以及隨機選取的整數a，傳回inconclusive的機率小於1/4 • 若選取t次不同的a值，以TEST檢查n而能通過TEST的機率將小於(1/4)t • 例如t = 10，非質數而能通過這所有10次測試的機率小於10-6。因此對夠大的t值而言，如果米勒－拉賓演算法的測試傳回值都是inconclusive，n是質數的機率大於0.99999

  13. 質數的分佈 • 接近n的質數，其平均間隔是(ln n)個整數 • 平均來說，找到質數之前必須先測試大約(ln n) 個整數 • 但因能立即排除所有的偶數，因此正確的估算大約是0.5 ln(n) • 例如要尋找的質數若約為2200，大約需要0.5 ln (2200) = 69 次檢測，才能找到一個質數 • 但這只是平均估算，質數在數線的某些地方會密集出現，而在其他地方則會相隔較遠才會出現質數

  14. 中國餘數定理（CRT）(略) • 令xZ10 • CRT能從一組互質模數的餘數重建特定範圍的整數 • 例如mod M = m1m2..mk • CRT可以讓我們各自處理每個模數mi • CRT能以一組較小的數值計算可能非常大的數值的取M同餘，尤其若M超過150位數，這項特色更顯實用。不過要注意的是，必須事先知道M的因數分解

  15. 總結 • 質數 • 費馬定理 • 尤拉定理及 ø(n) • 中國餘數定理(略) • 離散對數(略)

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