Lecture 6: Forced Response and Impedance

Lecture 6: Forced Response and Impedance Jeong Wan Lee 전기회로이론 및 실험

Forced Response 1차회로의 지배방정식: 회로의 초기조건은 고려하지 말자. 2차회로의 지배방정식 (with capacitors and inductors) : Forced response: forcing function F(t)에 따라 해가 달라진다. - Forcing Function이 sine 형태의 함수만을 고려하자. => 회로의 완전 응답은 ?

Cont... 자연 응답은 초기에만 나타나고 시간이 지나면 소멸된다. (대개의 경우 그 소멸속도는 매우 빠르다.) 소스의 형태: capacitor 와 resistor가 직렬로 연결되어 있고 위의 source가 연결된 경우: 초기치를 무시한 경우 응답은 다음과 같다.

Cont... cos과 sin term을 모아서 정리한 다음: cos 과 sin의 각각의 계수는 0이 되어야 하는 조건에서: and

Cont... Solving for A and B we get : and 위의 값을 원래의 응답 식에 대입하면 capacitor와 저항이 직렬 연결된 회로의 완전한 응답을 구할 수 있다.

Phasor * Phasor: 시간영역의 응답의 주파수 영역으로의 변환 TIME DOMAIN FREQUENCY DOMAIN v(t) = V cos(wt + f) V(jw) = V exp( j * f) 기본 관계식 (복소수): * 주파수  (rads/s)와 위상차를 갖는 사인형의 함수의 일반적 표현 * Phasor notation: 사인형 함수의 복소표현 Phasor Notation - Magnitude A and Phase .

Example TIME DOMAIN:

Impedance • 지금까지의 해석: sine형태의 소스입력에 대한 출력의 시간 응답 • - 회로는 단순하고, 1차 특성을 갖고 있다. • - 만약 인덕터와 캐퍼시터가 여러 개 연결되어 있다면, 응답은 복잡해 진다. • Note: 좀더 복잡한 회로의 해를 구할 때 생각할 것 • sinusoidal 입력에 대한 응답은 sinusoidal이다. • 응답은 주파수 w는 입력의 주파수와 같다. • 전압과 전류는 입력의 scaled된 값이다. • 응답의 Phase 는 대개의 경우 바뀐다. • => 위의 사실을 이용하면,AC 회로의 전압과 전류의 해를 쉽게 풀 수 있다. • => Impedance: Phasor notation을 사용한 전압과 전류의 관계. • 응답의 해를 푸는데 필요한 양 인 sine함수의 amplitude 와 phase를 표현한 식. • % Impedance; 복소저항이다. • 주파수 영역의 해석만을 고려하는 것이다.

Impedance of a Resistor 저항에서의 전압과 전류 관계: Phasor notation : Impedance: phasor voltage 와 phasor current의 비

Impedance of a Capacitor Capacitor의 전압과 전류의 관계: Phasor notation으로 쓰면 : => Capacitor 의 Impedance :

Impedance of an Inductor Capacitor의 전압과 전류의 관계: Phasor notation으로 쓰면 : => Capacitor 의 Impedance :

Example Zeq = R + 1/jwC + jwL = 1 + jwRC + (jw)2LC Vs(jw)=Is(jw)*Zeq = Is(jw)[1+jwRC+(jw)2LC] Compare to other method:

How to convert to time domain * Find I = A exp(j* f) => Then I(t) = A cos( wt + f ) * Example from RLC above: I = V / (1 + jwRC + (jw)2 LC) = V / ((1 - w*w*LC) + jwRC ) * Multiply top and bottom to get complex # on top I = A + jB => Magnitude = sqrt(A2 + B2) => f = tan-1(B/A) * impedances 를 이용한 회로 해석 - Node Voltage solution - Mesh Current Solution - Thevenin/Norton Equivalents * Goal: Get variable in the form: G (jw) = A + jB Then convert back to time domain.

AC Power Lec 6-2

Instantaneous Power If the voltage and current as a function of time are: then the power, at any time, will be given by: Using trigonometric identities: where  = V + I

Cont... If we say that the phase of the current is zero (i.e. I=0 ) then From this we can see that the total power is made up from an average value together with a sinusoidal component. p(t) is the instantaneous power, which is comprised of the average power and a sinusoidal term. sinusoidal term Watts average power Time(s)

Average Power Average Power Lets now move to phasor notation. The V and I in the equation above are the magnitudes of the current and voltage waveforms. In phasor notation we have:

Complex Power However if we use RMS currents and voltages: and Putting these into the previous equations for power we get:

Lecture 6: Forced Response and Impedance