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第二节 数量积 向量积 混合积

F. M 1. θ. S. M 2. b. θ. a. 第二节 数量积 向量积 混合积. 一 两向量的数量积. 1, 常力的功. 在物理中我们知道 , 一物体受常力作用下沿直线从 M 1 移动. 到 M 2 , S 是它位移 . 则力 F 所做的功为. 功是个数量 , 它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角. 的余弦. 2, 数量积的定义. 称为向量. 定义 1: 对任意两个向量 a,b, 数. a,b 的数量积 , 记作 a·b. 即. 根据这个定义 , 上面讲的功 W 是力 F 和位移 S 的数量积 ,w=F·S.

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第二节 数量积 向量积 混合积

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  1. F M1 θ S M2 b θ a 第二节 数量积 向量积 混合积 一 两向量的数量积 1,常力的功 在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1 移动 到 M2, S是它位移.则力F所做的功为

  2. 功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角 的余弦. 2, 数量积的定义 称为向量 定义1:对任意两个向量a,b,数 a,b的数量积,记作a·b 即 根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=F·S

  3. 3, 数量积的主要性质 (1)a·b=|a|Prjab=|b|Prjba 因为a·b=|a||b|cos(a,b)=|b||a|cos(b,a)=b·a |b|cos(a,b)是b 在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab. 所以a·b=|a|prjab同理: a·b=|b|prjba.所以上式成立. (2) a·b=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,b为非 零向量. 因为a·b=|a||b|cos(a,b).|a|≠0,|b|≠0,使a·b=0只能cos(a,b)=0. 即向量 a和b相互垂直. (3)

  4. 4, 数量积的运算律 (1)交换律 a·b=b·a 证明: 由投影定理a·b=|a|Prjab=|a||b|cos(b,a)=|b|Prjba=b·a (2)分配律 (a+b)·C=a·C+b·C 证明: (a+b)·C=|C|Prjc(a+b)= |C|Prjca+ |C|Prjcb=a·c+b·c (3)与实数相乘的结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 5, 数量积的坐标表示式,设 根据数量积的运算律,有

  5. 在就是两个向量数量积的坐标表示式. 当a,b为非零向量时,有公式

  6. M3 θ M1 M2 由此可见,两个向量垂直的充要条件是 例1 求向量a={5,2,5}在向量b={2,-1,2}上的投影. 解:因为 a·b=|b|Prjba, 所以

  7. 例2 已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1 M2, M1 M3的夹角. 解:

  8. C b a M F o θ L p 例3 试利用向量的数量积证明三角形 的余弦定理. 由图可见c = a--b , c2 = (a-b)2 = a2 -2a·b+b2 =a2 + b2- 2|a||b|cosθ即 c2 = a2 + b2- 2|a||b|cosθ 用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单. 二, 两向量的向量积

  9. 1.引例 转动力矩(向量) M=力臂×力F. 方向由转动 方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为 |M|=|F||op|sinθ M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则. 即当右手的四指从op以不超过π的角转向F时握拳时, 大拇指的指向. 2. 向量积的定义 定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,并规定: (1) |a×b|=|a||b|sin(a,b). (2) a×b垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和a×b符合右手 法则.

  10. a×b b |b|sinθ b θ a a 根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=op×F 模| a×b|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形 的面积. 3. 向量积的主要性质 由向量积的定义可以得到如下的性质:

  11. (1)a×a=0 因为| a×a|=|a||a|sin0=0. (2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是 a×b=0. 因为a×b=0,且|a|≠0,|b|≠0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为 π,a∥b 反之,如果a∥b则(a,b)=0或为π,即a×b=0. 4. 向量积的运算规则 (1) b × a = -(a×b). 这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向 b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算 时要特别注意.

  12. (2)分配律 (a+b)×c=a×c+b×c. (3)向量积还符合如下的结合律:设λ是个数,则(λa) ×b=a ×(λb) =λ(a ×b) 5. 向量积的坐标表示式 设 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk. 根据向量积的运算规则,有

  13. 由向量积的主要性质及运算规则(1),可知: 为了便于记忆,把上式写成行列式形式

  14. 也可以把它写成展开的形式 如果两个向量a和b互相平行,相当于sin(a,b)=0,或a×b=0,有 或者

  15. 在bx,by,bz都不等于零时,等式(2)和等式(1)具有相同的意义;在bx,by,bz都不等于零时,等式(2)和等式(1)具有相同的意义; 但形式上等式(2)比等式(1)简单.在bx,by,bz中有一个或者有 二个为零时,可把(2) 看为(1)的简便写法.例如我们把等式 例4 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k. 求a×b. 解:

  16. B A C 例5 已知三角形ABC的顶点是 A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7).求该 三角形的面积. 以AB,AC为邻边作平行四边形,它的面积是|AC×AB|, 三角形ABC的面积是它的1/2

  17. B o E D A 例6 试求以向量a=2i+j-k和b=I-2j+k为边的平行四边形的 对角线之间的夹角的正弦 解:我们把向量a,b的起点放在坐标原点它们的终点是 A(2,1,-1),和B(1,-2,1)以O, A,B为边作平行四边形OBDA, 对角线为OD和AB,它们的交点为E

  18. 例7 设a={1,1,4},b={1,-2,2},求b在a方向上的投影向量分析: 先求与a同方向的单位向量a0 从而b在a向量方向上的投影为 b在a向量方向上的投影向量为 例8 已知AB={-3,0,4},AC={5,-2,-14},求∠BAC角平分线上 的单位向量.

  19. B B’ A D C’ C 分析:作等腰三角形AB’C’,AD是BC边上的 中线,也是角平分线,为了方便起见,我们取 |AB’|=|AC’|=1的单位向量. 所以∠BAC角平分线上的单位向量为

  20. D C E A B 例9 设平行四边形的对角线c=a+2b,d=3a-4b,其中 |a|=1,|b|=2,a⊥b,求平行四边形的面积. 分析:平行四边形的面积为 为了求 我们可用向量积的方法求

  21. A E F C B D 例10 证明: 证明得到解决. 例11 证明三角形三条高交于一点.

  22. 证明:作△ABC,AD⊥BC,BE⊥AC,AD与BE 相交于F要证明三条高相交于一点,只要证明FC⊥AB

  23. 三. 向量的混合积 设已知三个向量a,b和c.如果先作两向量a和b的向量积 a×b,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a×b)·c, 这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作[abc]. 下面我们来推导三向量的混合积的坐标形式 设a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz), c=(cx,cy,cz)

  24. 向量的混合积有下述的几何意义: 向量的混合积[abc]是这样的一个数.它的绝对值表示以 向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.如果向量a,b,c组成右手系 (即c的指向按右手规则从a转向b来确定),那么混合积的符号 是正的;如果a,b,c组成左手系,那么混合积是负的. 向量积a×b=f是一个向量,它的模在数值上等于以向量a和 向量b为边的事实上,设OA=a, OB=b,OC=c按向量积定义,

  25. a×b=f C1 C α o B A D 平行四边形OADB的面积,它的方向垂直于这平行四边形 的平面,当a,b,c组成右手系时,向量f和向量c在这平面的同 一侧,[abc]=(a×b)c=|a×b||c|cosα由向量a,b,c为棱的六面体 的底是平行四边形

  26. ADBO,它的面积A在数值上等于|a×b|,它的高为向量c在fADBO,它的面积A在数值上等于|a×b|,它的高为向量c在f 上的投影的绝对值,即h= |c|cosα,所以平行六面体的体积 V=[abc]. 如果a,b,c组成左手系,则它们的混合积为负的,即 平行六面体的负值. 例11 已知不在一平面上的四点: A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D (x4,y4,z4),求这四面体 的体积. 分析:由立体几何可知,四面体的体积为六面体体积的1/6,所以

  27. B a θ A b D C 上式的符号必须同行列式的符号一致. 例12 已知向量AB=a,AC=b, ∠ADB=π/2 (1)证明△BAD的面积为

  28. (2)当a,b之间的夹角为何值时, △BAD的面积最大. 解: △BAD的面积S为 (1)先计算AD,AD是AB在AC上的投影向量,因为

  29. B a θ A b D C (2)由向量积,数量积与夹角之间的 关系,我们有 显然,当θ=π/4,或θ=3π/4时,三角形BAD的面积有最大值 |a|2/4

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